组合数学 8种盒子放球问题 |
您所在的位置:网站首页 › 排列组合放回与不放回哪个好一点 › 组合数学 8种盒子放球问题 |
这篇博客总结一下下边8种问题: 1. 有n个相同的球,k个不同的盒子,把n个球放到盒子里,盒子不允许为空,有多少种方案。 2. 有n个相同的球,k个不同的盒子,把n个球放到盒子里,盒子允许为空,有多少种方案。 3. 有n个相同的球,k个相同的盒子,把n个球放到盒子里,盒子允许为空,有多少种方案。 4. 有n个相同的球,k个相同的盒子,把n个球放到盒子里,盒子不允许为空,有多少种方案。 5. 有n个不同的球,k个相同的盒子,把n个球放到盒子里,盒子不允许为空,有多少种方案。 6. 有n个不同的球,k个相同的盒子,把n个球放到盒子里,盒子允许为空,有多少种方案。 7. 有n个不同的球,k个不同的盒子,把n个球放到盒子里,盒子不允许为空,有多少种方案。 8. 有n个不同的球,k个不同的盒子,把n个球放到盒子里,盒子允许为空,有多少种方案。 题解: 1. 有n个相同的球,k个不同的盒子,把n个球放到盒子里,盒子不允许为空,有多少种方案。 这个问题等价于求n=a1+a2+a3+...ak ,ai不能为0的方案数。隔板法,插空法。 把n个相同的球放在一行,那么这n个球中间有n-1个空,那么在这n-1个空中选k-1个空,放k-1个隔板,就把这n个球分成了k份。 所以方案数为C(n-1,k-1) , 组合数公式,表示从n-1个取k-1个的方案数。 例题: 牛客网 https://ac.nowcoder.com/acm/contest/553/D 2. 有n个相同的球,k个不同的盒子,把n个球放到盒子里,盒子允许为空,有多少种方案。 和问题1方法一样,这个允许盒子为空。n=a1+a2+a3+...ak ,ai可以为0的方案数。 这个题等价于 有n+k个相同的球,k个不同盒子,盒子不许为空的方案数。因为:把这n+k个球分到k个盒子之后,把每个盒子里的球的数量都减一,那么球的总数就是n个了,盒子里的球就可能是空的了。 所以方案数为 C(n+k-1,k-1). 例题: 牛客网 https://ac.nowcoder.com/acm/contest/553/D 3. 有n个相同的球,k个相同的盒子,把n个球放到盒子里,盒子允许为空,有多少种方案。 这是一道动态规划题,用dp[i][j]表示把n个球放到不超过k个盒子里的方案数。 我们可以根据有没有空盒子列出下面这个转移方程: dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j] ,解释一下: dp[i][j-1] 表示有空盒子,那么就是i个球放到不超过j-1个盒子的方案数 dp[i-j][j] 表示没有空盒子,那么每个盒子最少要有1个球,那么先把每个盒子放一个球,还剩下i-j个球,把剩下的i-j个球分到不超过j个盒子。 dp[n][k]就是答案。 4. 有n个相同的球,k个相同的盒子,把n个球放到盒子里,盒子不允许为空,有多少种方案。 和第3个方法一样,也是动态规划,dp[i][j]表示的意义和第3题一样。 答案应该是 dp[n][k]-dp[n][k-1]. 显然,(n个球放到k个相同的盒子,盒子允许为空的方案数)减去(n个球放到k-1个盒子,盒子允许为空的方案数)就是 (n个球放到k个盒子,盒子不允许为空的方案数)。 5. 有n个不同的球,k个相同的盒子,把n个球放到盒子里,盒子不允许为空,有多少种方案。 这个题是第二类Stirling数,不知道的自己百度。 用S(n,k)表示n个不同的球,放到k个不同的盒子,盒子不允许为空的方案数。 那么 S(n,k)=S(n-1,k-1)+k*S(n-1,k) 1 |
今日新闻 |
推荐新闻 |
CopyRight 2018-2019 办公设备维修网 版权所有 豫ICP备15022753号-3 |