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指示函数
 此條目介紹的是集合的0-1指示函数。关于其他指示特征的函数，请见「示性函数」。
在集合論中，指示函数是定义在某集合X上的函数，表示其中有哪些元素属于某一子集A。指示函数有时候也称为示性函数或特征函数。 集X的子集A的指示函数是函数 1 A : X → { 0 , 1 } {\displaystyle 1_{A}:X\to \lbrace 0,1\rbrace } ，定义为 1 A ( x ) = { 1 0 {\displaystyle 1_{A}(x)={\begin{cases}1\\0\end{cases}}\quad } 若 x ∈ A {\displaystyle x\in A} 若 x ∉ A {\displaystyle x\notin A}A的指示函数也记作 χ A ( x ) {\displaystyle \chi _{A}(x)\,} 或 I A ( x ) {\displaystyle I_{A}(x)\,} 。 简单性质[编辑]把X的子集A对应到它的指示函数的映射是雙射，值域是所有函数 f : X → { 0 , 1 } {\displaystyle f:X\to \{0,1\}} 的集合。 如果A和B是X的两个子集，那么 1 A ∩ B = min { 1 A , 1 B } = 1 A 1 B {\displaystyle 1_{A\cap B}=\min\{1_{A},1_{B}\}=1_{A}1_{B}\,} ，以及 1 A ∪ B = max { 1 A , 1 B } = 1 A + 1 B − 1 A 1 B {\displaystyle 1_{A\cup B}=\max\{{1_{A},1_{B}}\}=1_{A}+1_{B}-1_{A}1_{B}\,} 。更一般地，设A1, ..., An是X的子集。对任意 x ∈ X {\displaystyle x\in X} ，可知 ∏ k ∈ I ( 1 − 1 A k ( x ) ) = 1 {\displaystyle \prod _{k\in I}(1-1_{A_{k}}(x))=1} 当且仅当x不属于任何Ak。故有 ∏ k ∈ I ( 1 − 1 A k ) = 1 X − ⋃ k A k = 1 − 1 ⋃ k A k {\displaystyle \prod _{k\in I}(1-1_{A_{k}})=1_{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-1_{\bigcup _{k}A_{k}}} 。展开左式 1 ⋃ k A k {\displaystyle 1_{\bigcup _{k}A_{k}}} = 1 − ∑ F ⊆ { 1 , 2 , … , n } ( − 1 ) | F | 1 ⋂ F A k {\displaystyle =1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|}\;1_{\bigcap _{F}A_{k}}} = ∑ ∅ ≠ F ⊆ { 1 , 2 , … , n } ( − 1 ) | F | + 1 1 ⋂ F A k {\displaystyle =\sum _{\varnothing \neq F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|+1}\;1_{\bigcap _{F}A_{k}}} ，其中|F|是F的势。这是容斥原理的一个形式。 如上一例子所示，指示函数是组合数学一个有用记法。这记法也用在其他地方，例如在概率论：若X是概率空间，有概率测度P，A是可测集，那么1A就是随机变量，其期望值等于A的概率。 E ( 1 A ) = ∫ X 1 A ( x ) d P = ∫ A d P = P ( A ) {\displaystyle E(1_{A})=\int _{X}1_{A}(x)\,dP=\int _{A}dP=P(A)} 。这等式用于马尔可夫不等式的一个简单证明裡。 |
，定义为
若
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
若
x
∉
A
{\displaystyle x\notin A}
或
I
A
(
x
)
{\displaystyle I_{A}(x)\,}
。
的集合。
，
。
，可知
当且仅当x不属于任何Ak。
。
=
1
−
∑
F
⊆
{
1
,
2
,
…
,
n
}
(
−
1
)
|
F
|
1
⋂
F
A
k
{\displaystyle =1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|}\;1_{\bigcap _{F}A_{k}}}
=
∑
∅
≠
F
⊆
{
1
,
2
,
…
,
n
}
(
−
1
)
|
F
|
+
1
1
⋂
F
A
k
{\displaystyle =\sum _{\varnothing \neq F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|+1}\;1_{\bigcap _{F}A_{k}}}
，
。
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