定義関数(指示関数,特性関数)とは |
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大学数学でよく使われる「定義関数（指示関数，特性関数ともいう）」について解説します。その定義自体は難しいものではなく，いわゆる「便利記号」の一つです。 注釈なしで出てくることがあるので，覚えておきましょう。 なお，確率論では，「特性関数」というと，ここでいう「定義関数」とは意味が変わります。今回は確率論の文脈の特性関数を解説しているわけではないので，注意してください。 確率論の文脈で「特性関数」というと，本記事の「定義関数」とは意味が変わるので注意！ 確率論の特性関数については，いずれ記事にしたいと思います。 それでは解説に移りましょう。 定義関数(指示関数,特性関数)の定義定義関数(指示関数,特性関数)の具体例まとめ定義関数(指示関数,特性関数)の定義定義（定義関数，指示関数，特性関数） 集合 A に対し， \textcolor{red}{1_A (x) = \begin{cases} 1 & x \in A,\\ 0 & x \notin A \end{cases}}となる関数 1_A を定義関数 (指示関数, indicator function) または特性関数 (characteristic function) という。定義関数は 1_A だけでなく， \textcolor{red}{1_A, 1\hspace{-2.5mm}1_A, \chi_A}などと書かれることが多い（ \chi はギリシャ文字「カイ」）。 また， x に依存する命題 P(x) に関して， \textcolor{red}{1_P(x) = \begin{cases} 1, & \text{if } P(x)\text{ is true} \\ 0, & \text{if } P(x)\text{ is false} \\ \end{cases} }として用いる場合もある（trueは真，falseは偽の意味）。 なお本サイトでは，3つの表記のうち， 1_A という表記を一貫して採用します。 定義関数(指示関数,特性関数)の具体例早速，具体例を確認していきましょう。 例1.（積分） f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} を（積分ができる）関数とする。このとき， \int_{\mathbb{R}} f(x) 1_{[-1, 1]} (x) dx = \int_{-1}^1 f(x) dxである。 積分区間を制限するのに用いるやり方ですね。 例2.（積分その2） A \subset \mathbb{R}^2 を”性質の良い”集合（すなわち面積確定集合）とすると， A の面積は \int_{\mathbb{R}^2} 1_A (x) dx = \int_A dxとして定義される。 大学生が最初に定義関数を見るのが，もしかしたら「面積」や「体積」を積分で定義する場面だったかもしれません。 例3.（場合分け） A_1, A_2, \ldots, A_n を互いに素な集合とする。このとき， f(x) = \begin{cases} a_1, & \text{ if } x \in A_1 \\ a_2, & \text{ if } x \in A_2 \\ \ldots & \ldots \\ a_n& \text{ if } x \in A_n \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}となる関数 f は，定義関数を用いると， f(x) = \sum_{k=1}^n a_k\, 1_{A_k} (x)とかける。 場合分けにもうまく適用できました。 例4.（場合分けその2） [x] は， x を超えない最大の整数を表すとすると， \begin{aligned} [x] &= \sum_{n=-\infty}^\infty n \, 1_{[n, n+1)} (x) \\ &= \sum_{n=-\infty}^\infty n \, 1_{n \le x |
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