傅里叶变换的理解 |
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基本概念 欧拉公式 根据欧拉公式正余弦信号还可以被指数形式所表示 角频率或频率为横轴,振幅和相位为纵轴,画一个坐标系,表示这个正弦信号 在新的坐标系(角频率或频率为横轴,,振幅和相位为纵轴)中,以两条线(甚至两个点就够了),表示了时域波形如图2.1所示的信号,或者说,表示了信号所有的特征信息(频率、幅度和相位)。这种表示法被称为频域表示,表示的结果叫做“频谱”,对应于振幅或者相位分别为幅度谱和相位谱。 上述正弦信号只有单一频率,因此其频谱只包含一根“线”(谱线),人们常称其为“单色”信号。
傅里叶级数 公式推导,百度或者数学课本。 任何周期信号都能够由不同谐波的正弦波叠加而成,这由傅里叶发现,因此称之为傅里叶级数 可以通过积化和差,把sin和cos化为一个cos 如果我把一个信号的所有正弦分量的频率算出来画出来,那么就如下图 ,也叫频谱图 频谱是频率谱密度的简称,是频率的分布曲线。复杂振荡分解为振幅不同和频率不同的谐振荡,这些谐振荡的幅值按频率排列的图形叫做频谱 考察某个信号的所有正弦分量,这些正弦分量覆盖的频率范围,被形象地叫做“频带”。这个范围的大小,就是“带宽”——即频带宽度,如图所示。带宽是衡量信号特性的一个重要指标。 极端情况下,相邻谱线足够接近时,频谱就可表示成连续的曲线了,原来分立的谱线于是简化为曲线中的一个个点 。
根据欧拉公式也可以用指数来表示一个周期信号 欧拉公式 因此傅里叶级数还可以表示成以下指数形式 如果我把一个信号的所有指数分量的频率算出来画出来,那么就如下图
可以看到,复频谱除正频率分量外,还包括负频率分量。负频率的出现是数学运算(欧拉公式)的结果,并无物理意义。
总结: 上述正弦信号只有单一频率,因此其频谱只包含一根“线”(谱线),人们常称其为“单色”信号。而在大多数应用场合中,信号是由若干不同频率的单色信号叠加而成的,称为“复合”信号。从频域角度看,复合信号的频谱包含若干条甚至无数条谱线。
MATLAB编程实现:y=10+A*sin(2*pi*10*x)+5*sin(2*pi*20*x); 画图用点*不要用-,不然以为没有采样点。时间-幅度图,频率-幅度图 fs=200;%采样频率 是最高频率的两倍以上 t=1/fs;%采样间隔时长 T=2;%采样窗口长度 A=10;%幅度 N=T*fs% 采样点数 T/t x=[0:(1/fs):T];%周期 len=length(x)-1;%x=N y=10+A*sin(2*pi*10*x)+5*sin(2*pi*20*x); subplot(3,1,1); plot(x,y,'r*'); xlabel('时间/s'); ylabel('幅度'); subplot(3,1,2); [f,y]=get_fft(y,fs,N); plot(f,y); xlabel('f/Hz'); ylabel('幅度'); function [f, spectrum ] = get_fft(s,Fs,L) %GAN_FFT 此处显示有关此函数的摘要 % 此处显示详细说明 y=fft(s); p2=abs(y/L); p1=p2(1:L/2+1); p1(2:end-1)=2*p1(2:end-1); f = Fs*(0:(L/2))/L; spectrum=p1; end %plot(f,spectrum);
以周期矩形信号为例,从傅里叶级数到傅里叶变换
突然发现好多数学式子啊,知道它是很多正弦信号组成的,那我们来大概看看,小的正弦信号怎么组成了这个周期矩形信号
有没有发现前面的正弦信号,矩形脉冲信号,都是周期信号。那么非周期信号怎么办呢? 傅里叶认为,既然周期信号可以用正弦信号来表示,那么非周期信号也可以用正弦信号来逼近。原因是非周期信号可以看成是周期无限大 的周期信号;事实证明,傅里叶的想法是对的,于是才有了大名鼎鼎的傅里叶变换。 再回顾一下傅里叶级数的三角函数形式
由于谱间隔为 另外谱的幅度 所以当周期 极端情况下,若
由于
这反映了一个普遍的规律:时域上压缩, 考虑一个极端情况,若 ,则
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