谱元法不仅能像h型有限元法一样通过增加网格数量来处理任意复杂地形，而且能像p型有限元法和谱方法一样通过提高插值阶数来达到非常高的精度，同时具有谱方法的指数收敛特性。本节自编Matlab程序，用二维亥姆霍兹方程验证谱元法的高精度和指数收敛特性，这是出于两方面考虑：1）时间离散采用高阶分裂法，解不可压缩N-S方程时存在速度场的亥姆霍兹方程，如式；2）亥姆霍兹方程通常存在解析解，便于误差对比分析。

考虑二维区域内亥姆霍兹方程：                    

其解析解为：。

为研究谱元法的计算精度及收敛特性，对比h型和p型展开下误差随自由度变化的收敛情况。对于h型展开，取插值阶数P=2，增加单元数改变自由度；对于p型展开，将区域划分为2×2共4个单元，通过提高插值阶数P改变自由度。对比和两种误差形式，其中表示误差绝对值的最大值，表示误差绝对值的和。

h型展开和p型展开下，误差随自由度的变化曲线如图2.3。可以发现，对于h型展开，误差随自由度增加衰减缓慢，最大误差始终在0.01以上。对于p型展开，误差随自由度增加呈指数减小，最大误差低于10-12。

由此可见，h型展开方法，如有限元法，误差随单元数增加的收敛速度十分缓慢，且误差始终较大；p型展开方法，如谱方法和谱元法，误差随着单元数的增加呈指数衰减，误差远小于h型展开方法。因此，当模拟的问题对精度要求很高时，谱元法具有极大的优势。