指数复合函数的求导与欧拉方程：

[ f ( e t ) ] ′ = f ′ ( e t ) ∗ e t [f(e^t)]'=f'(e^t)*e^t [f(et)]′=f′(et)∗et

x n ∗ y ( n ) + P 1 ∗ x n − 1 ∗ y ( n − 1 ) + … … + P n − 1 ∗ x n − 1 ∗ y ′ + P n y = f ( x ) x ^ { n }*y^{(n)}+P_{1}*x ^ { n-1}*y^{(n-1)}+……+P_{n-1}*x ^ { n-1}*y'+P_{n}y^=f(x) xn∗y(n)+P1​∗xn−1∗y(n−1)+……+Pn−1​∗xn−1∗y′+Pn​y=f(x)

∑ k = 0 n p k x k y ( k ) = f ( x ) \sum_{k=0}^{n}p_kx^ky^{(k)}=f(x) k=0∑n​pk​xky(k)=f(x)

令 x = e t , 则 有 ： { x d y d t = d y d t = d d t y = D y x 2 d 2 y d x 2 = d 2 y d t 2 − d y d t 令x=e^t ,则有： \begin{cases} x\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}y=Dy\\ x^2\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\\ \end{cases} 令x=et,则有：{xdtdy​=dtdy​=dtd​y=Dyx2dx2d2y​=dt2d2y​−dtdy​​

一 般 的 ： x k y ( k ) = D ( D − 1 ) … … ( D − K + 1 ) y 一般的：x^ky^{(k)}=D(D-1)……(D-K+1)y 一般的：xky(k)=D(D−1)……(D−K+1)y

将 y 对 x 的 欧 拉 方 程 → 变 为 y 对 t 的 常 系 数 微 分 方 程 {\boxed{将y对x的欧拉方程}} \rightarrow {\boxed{变为y对t的常系数微分方程}} 将y对x的欧拉方程​→变为y对t的常系数微分方程​