利用下表人口数据做一个人口数量预测模型

首先对数据进行可视化分析，我们以10年为间隔取一次人口数量，如果我们取样间隔过短可能会导致数值太过密集，导致不容易看出人口数量随时间的分布情况。通过对时间和人口数量作图得到下图。

记初始时刻（t=0时）人口数量为 x 0 x_0 x0​，在 d t dt dt时间内人口增长 d x = r x d t dx=rxdt dx=rxdt。通过上述条件可以得到一个微分方程组： { d x d t = r x x ( 0 ) = x 0 \begin{cases} \small{\frac{dx}{dt}=rx}\\ x\left( 0 \right) =x_0\\ \end{cases} {dtdx​=rxx(0)=x0​​ 通过解上述微分方程得到 x ( t ) = x 0 e r t x(t)=x_0e^{rt} x(t)=x0​ert，接下来通过最小二乘法法对参数 r , x 0 r,x_0 r,x0​进行估计，将上面 x 与 t x与t x与t的关系两边取对数得到 y = r t + a , y = l n x , a = l n x 0 y=rt+a,y=lnx,a=lnx_0 y=rt+a,y=lnx,a=lnx0​ 根据人口数据（因为指数模型并不适合预测较长时期的人口，所以将1970年作为t=0），编程计算得到 r = 0.0196 , x 0 = 6.049 r=0.0196,x_0=6.049 r=0.0196,x0​=6.049，代码如下

得到结果图为

计算MSE得到 M S E = 2.1 ∗ 1 0 3 MSE=2.1*10^{3} MSE=2.1∗103，计算代码如下

计算得到MSE较大，因为我们所使用的数据数值较大，所以计算某一年预测值的相对误差的结果更有说服力。 计算在2000年的相对误差 e r r o r = ∣ x _ h a t ( 2000 ) − x ( 2000 ) ∣ x ( 2000 ) = 0.38 error=\small{\frac{\left| x\_hat\left( 2000 \right) -x\left( 2000 \right) \right|}{x\left( 2000 \right)}}=0.38 error=x(2000)∣x_hat(2000)−x(2000)∣​=0.38,emm…可以看出普通指数模型不是特别好。

观察图2可以发现，人口的变化率 r r r并不是不变的，因为资源受限等问题，人口变化率 r r r随着人口数量的增加而减少，成反比例关系，这说明我们在上面的假设中出现了错误，所以要更改假设内容。

由假设可知 x = x m x=x_m x=xm​时， r = r 0 − k x m = 0 r=r_0-kx_m=0 r=r0​−kxm​=0 解出 k = r 0 x m k=\frac{r_0}{x_m} k=xm​r0​​,可以得到下列方程组： { d x d t = r x ( 1 − x x m ) x ( 0 ) = x 0 \begin{cases} \frac{dx}{dt}=rx(1-\frac{x}{x_m})\\ x(0)=x_0\\ \end{cases} {dtdx​=rx(1−xm​x​)x(0)=x0​​ 参数估计 一、非线性最小二乘估计 通过解上述微分方程得到 x ( t ) = x m 1 + ( x m x 0 − 1 ) e − r t x\left( t \right) =\frac{x_m}{1+\left( \small{\frac{x_m}{x_0}-1} \right) e^{-rt}} x(t)=1+(x0​xm​​−1)e−rtxm​​ 利用matlab拟合工具箱拟合得到 r = 0.02681 , x m = 370 r=0.02681,x_m=370 r=0.02681,xm​=370.结果如下图

对上面的微分方程进行变换得到 1 x d x d t = r − r x m x \frac{1}{x}\frac{dx}{dt}=r-\frac{r}{x_m}x x1​dtdx​=r−xm​r​x为线性关系，可以利用线性最小二乘法拟合。利用matlab拟合得到 r = 0.0288 , x m = 299.439 r=0.0288,x_m=299.439 r=0.0288,xm​=299.439，代码如下：

结果图：

在模型检验时利用非线性最小二乘估计的参数作为最终的参数。还是和模型一一样利用2000年的人口数量进行检验。得到相对误差为 1.6 % 1.6\% 1.6%。可以看出解出的模型效果不错。