之前一直在站里看到很多UP主在探讨这么一个求和公式：

        并且都在试图将其转化为一个以n为自变量的多项式：

        由上图我们发现，任意长的累加式子转化成了短短几项n的幂的有理数倍的和，这不大大减小了计算的繁杂程度了么？而且似乎n的幂的这些系数还具有某些规律，所以我们的最终目的就是解决在任意指数k下，n的幂所具有的系数与k的关系。

        那么这些系数是否真的就与指数k有关系呢？显然是有的，早在18世纪，伯努利家族中就有人得到了规律，并引入了伯努利数列Bn：

        而通项公式为：

        欸？这结果不是已经出来了么？再讨论有什么意义呢？（这意义不就是可以让我再水一篇专栏么(ಡωಡ)）

        不，我对此有那么“亿”点点不满意，因为这里的伯努利系数是没有通项公式的，每一项必须通过得到前面的项才能求，这种递推与那些视频里的方法有什么不同呢？（要求n次幂和就要先求前n-1次幂所有的和——求第n项系数就要先求前n-1项所有的系数）当然，因为伯努利系数是不变的，只要先列出来，不就解决了？这倒是，我怎么没想到呢？但如果是像各位up那样从零开始毫无基础的去求和呢？

        所以，就让我来分享一下目前应该没人用的一个思路吧：

        我这个思路很简单，稍微总结一下就是“找规律加上待定系数法”，找什么规律呢？就是看看后面这个k次多项式的系数有什么规律：

        上图可是我曾经用找规律与高阶等差数列求和硬生生算出来的啊（不点个赞表示一下么(ಡωಡ)），看看标红的项与标绿的项，这么明显的规律总不会看不出来吧。但现在我们不用这样傻傻的把这个问题当作一元k次方程来解，而是转化一下，变成k元一次方程组来解，这样不就更简单了吗？

        首先，通过上图，我们发现k次幂和的表达式中，最高次项为k+1次，这一点事实上不难理解，毕竟自然数的k次幂和可以看作是函数y=x^k从1到n的近似积分，出现k+1次就显而易见了。其次可以发现，表达式没有常数项，即我们所要求的幂和，在乘上某对应的常数后，是一定可以被项数整除的。而接下来，我们就可以利用待定系数法了，我们先设：

        这里的a1到ak+1就是我们要求的系数，但只有一个式子且没有其他的等量关系，是求不出的，所以我们考虑给上式左边再加一项：(n+1)^k，这样上式的右边就有两种表达方式了：①直接加上(n+1)^k②将每一项的n都换成n+1

接下来就是二项式定理的展开：

        此时我们可以看到，上面两本应相等的式子，每项n的幂的系数均有两种表达方式（除了第一项），由此我们可以列出如下方程组：

化简，整理：

        好了，我们的多元一次方程组（线性方程组）就出来了，但似乎这与上面伯努利数列的式子有点像呀，而且也是需要一项项求呀，emmmmm...线性代数，上！

        左边是一个三角矩阵，其行列式值（模）就是对角线上各项的乘积，但有意思的是，对角线上正好就是1到k+1，所以它的模就是(k+1)!，为什么要把这么一个值算出来呢？这就有点说来话长了，简单点说，就是利用线性代数求方程组的必要步骤之一。（这可是大学内容啊，没学过的肯定更加看不懂了啊）唉，接下来我也只能尽力通俗点讲了。

补充知识一：矩阵的乘法

        矩阵是线性代数里的重要角色，其与向量密不可分，线代的入门可以戳戳上方链接去看看知名科普up主“3Blue1Brown”的“线性代数的本质系列”，这里我就简单的介绍一下矩阵的乘法吧。

        在3B1B的视频中，前面的矩阵不再是一个m×n的数表，而是m个n维向量的横排列，即每一纵列都看做一个向量，而后面的矩阵则看做前面m个向量的变换系数的纵排列，同时每个向量在同一方向的分向量可以直接相加（合并），所以矩阵的乘法就是拿前矩阵的某行（某同方向的分向量值）分别乘后矩阵的某列（变换系数），最后相加，从而得到结果向量在该方向上的分向量的值，这就是为什么矩阵的乘法需要前矩阵的列数等于后矩阵的行数，同时也是为什么上面那个线性方程组可以改写成矩阵乘法的形式的原因。

补充知识二：求解线性方程组

        就用上面这个为例吧， 在已知ax+by与cx+dy时怎么求x与y呢？就用简单的消元法吧：

        看，一下就出来了。等等，ad-bc总觉得有点眼熟啊。上面那个abcd的矩阵的模不就是ad-bc嘛：

        现在知道我之前求行列式是为了什么了吧(ಡωಡ)，还有，上面等式的左边似乎也可以转化成行列式哦：

        所以，如果我们要求第i行未知数，就只需要将前矩阵第i列替换成结果向量的这些数，并解出该模，最后除以原矩阵的模即可。

        让我们实际验证一下吧：

要求a1，就要将第一列替换掉：

同理，求a2，就要将第二列替换掉：

        接下来，a3~ak+1都可以这样求出来，啊？你们说行列式怎么求？这……好吧，我承认，这行列式目前我并没有找到比较简便的计算方法，所以……我相信大家的计算能力。（逃）─=≡Σ(((つ•̀ω•́)つ