常见的函数图像 |
您所在的位置:网站首页 › 指数函数的图像画法 › 常见的函数图像 |
常见的函数图像 #一. 函数的性质 # 首先讲述下函数的几种性质,设函数为 f(x),定义域为 D。 有界性若存在 k1,在定义域内的所有 x 满足, f(x) = k2,则 k2 为函数的下界。 单调性如果函数上任意两点 x1 和 x2,当 x1 < x2 时,恒有 f(x1) < f(x2),称函数是单调增加的,若恒有 f(x1) > f(x2),称函数是单调减小的。 奇偶性当函数的定义域关于原点对称,并且 f(-x) = f(x),那么 f(x) 为偶函数。 当函数的定义域关于原点对称,并且 f(-x) = -f(x),那么 f(x) 为奇函数。 当函数的定义域不关于原点堆成,那么 f(x) 非奇非偶。 周期性如果存在一个正数 l,使得对任意定义域内的 x 和 x + l,满足 f(x + l) = f(x),那么称 f(x) 为周期函数。通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。 二. 函数的导数 #分析函数图像,我是通过函数的导数分析的。三次函数求导后变成了二次,二次变成了一次,关于如何求导,可以自行百度。这里,我只说明导数是如何影响函数图像的。 当某一点的导数大于0,此时该点处的切线方向是递增方向的,即由第三象限指向第一象限。当导数等于0,切线方向为水平方向。当导数小于0,切线方向是递减方向。因此可以从某一点的导数判断此时函数图像是递增还是递减的。 接下来,我们借助函数的导数从函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性分析一些常见的函数。 三. 一次函数 #一次函数指的是形为 f(x) = ax + b (a 不等于 0)的函数,例如 f(x) = x + 1,它的函数图像如下。 有界性因为 a != 0,所以函数无界。 单调性当 a > 0 时,函数单调递增的,当 a < 0 时,函数单调递减。 奇偶性当 b = 0 时,此时函数图像经过原点,此时为奇函数。 当 b != 0 时,此时函数非奇非偶。 周期性一次函数无周期性。 四. 二次函数 #二次函数是描述抛物线的数学表达式,指的是形为 f(x) = ax² + bx + c(a 不等于 0)的函数,例如 f(x) = x² + 3。 有界性二次函数有界,当 a > 0 时,有下界,反之有上界。 当 a > 0 时,二次函数开口向上,所以最小值为谷底,当 x = -b / (2a) 时,函数取得最小值 c。 当 a < 0 时,二次函数开口向下,所以最小值为峰顶,当 x = -b / (2a) 时,函数取得最大值 c。 计算函数最大值和最小值可以通过函数求导得到。 单调性当 a > 0 时,二次函数开口向上,当 x < -b / (2a) 时,函数递减,当 x > -b / (2a),函数递增。 当 a < 0 时,二次函数开口向下,当 x < -b / (2a) 时,函数递增,当 x > -b / (2a),函数递减。 奇偶性二次函数总是关于 x = -b / (2a) 对称,所以当 b != 0 时,函数非奇非偶。 当 b = 0 时 满足 f(x) = f(-x),所以函数为偶函数。 周期性二次函数无周期性。 五. 三次函数 #指的是形为 f(x) = ax³ + bx² + cx + d(a 不等于 0)的函数,例如 f(x) = x³,它的图像如下。 三次函数的导数为二次函数 f(x)',因为二次函数当 y 等于 0 时,可能的解的情况有 0、1 或者 2 个,所以三次函数的图像比较复杂。可能的情况有: f(x)' f(x)' >= 0 恒成立 #有界性无界。 单调性函数递增。 奇偶性可能为奇函数,也可能非奇非偶,例如 f(x) = x³ 为奇函数,f(x) = x³ + 3 非奇非偶。 周期性无。 f(x)' = 0 有两个解 #此时根据 f(x)' 函数的开口方向,f(x) 的递增递减顺序不同。当 f(x)' 函数开口向上时,导数先大于0,然后小于0,最后大于0,所以 f(x) 函数图像的变化是递增 -> 递减 -> 递增,你因该能想象它的形状类似于字母 N 。反之当 f(x)' 函数开口向下时,f(x) 函数图像的变化是递减 -> 递增 -> 递减,是一个反过来的 N 。 有界性无界。 单调性根据导数函数 f(x)' 函数的开口方向不同而不同。当开口向上时,单调性 递增 -> 递减 -> 递增,当开口向下时递减 -> 递增 -> 递减。 奇偶性可能为奇函数,也可能非奇非偶。 周期性无。 六. 对数函数 #对数函数是形为 f(x) = loga(x)的函数,其中 a 为底数,必须满足 a > 0 并且 a != 1,定义域必须满足 x > 0。下面分别是底数大于1和小于1的对数函数图像。 有界性无界。 单调性当底数 a > 1 时,递增,a < 1 时,递减。 奇偶性非奇非偶。 周期性无。 七. 指数函数 #形为 f(x) = aˣ 的函数,称之为指数函数,其中 a 不等于1且大于0(等于1时,函数图像为 y = 1 的直线)。下图分别是当 a > 1 和 a < 1 时,指数函数的图像。 有界性有下界,无上界。 单调性当a > 1 时,递增,a < 1 时,递减。 奇偶性非奇非偶。 周期性无。 八. 正弦函数 #正弦函数f(x) = sin(x)。 有界性有上下界,上界为1,下界为-1。 单调性在 x 属于 [2kπ - π / 2, 2kπ + π / 2]时递增,x 属于[2kπ + π / 2, 2kπ + 3π / 2]时递减,其中 k∈Z。 奇偶性奇函数。 周期性有周期性,周期为 2π。 九. 余弦函数 #余弦函数f(x) = cos(x)。 有界性有上下界,上界为1,下界为-1。 单调性在 x 属于 [2kπ - π, 2kπ]时递增,x 属于[2kπ, (2k + 1)π]时递减,其中 k∈Z。 奇偶性偶函数。 周期性有周期性,周期为 2π。 十. 正切函数 #正切函数为f(x) = tan(x)。 有界性无界。 单调性正切函数并非完全递增的,由图可知,它的单调递增区间为 (-π/2+kπ,+π/2+kπ), k∈Z。 奇偶性奇函数。 周期性有周期性,周期为 π。 (完) |
今日新闻 |
推荐新闻 |
CopyRight 2018-2019 办公设备维修网 版权所有 豫ICP备15022753号-3 |