指数・対数を総まとめ!計算法則や公式一覧 |
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指数・対数に関するさまざまな計算法則・公式をまとめてました。 気になる公式や問題の解き方があれば、ぜひ詳細記事を参考にしてくださいね!
目次 指数とは?指数法則(数I)累乗 → べき乗指数の定義の拡張実数の指数法則(数II)累乗根累乗根の性質対数とは?指数と対数の関係真数条件・底の条件対数の性質底の変換公式常用対数自然対数指数関数と対数関数指数関数・対数関数の微分公式指数関数・対数関数の積分公式指数関数・対数関数の極限公式 指数とは?指数(しすう)とは、同じ数を繰り返しかける計算「累乗(るいじょう)」でかける回数のことです。 指数の定義\(a\) を \(n\) 回かける計算を累乗といい、 \(a^n\)(\(a\) の \(n\) 乗) と表す。 右上の \(n\) を「指数」、繰り返しかける数 \(a\) を「底(てい)」と呼ぶ。 指数法則(数I) 累乗において成り立つ計算規則です。 指数法則\(a \neq 0\)、\(b \neq 0\)、\(m\), \(n\) が正の整数のとき、以下が成り立つ。
① \(a^m \times a^n = a^{m + n}\)
② \(a^m \div a^n = \displaystyle \frac{a^m}{a^n} = a^{m − n}\)
③ \((a^m)^n = a^{mn}\)
④ \((ab)^m = a^m b^m\)
⑤ \(\displaystyle \left( \frac{b}{a} \right)^m = \frac{b^m}{a^m}\)
![]() 累乗 → べき乗 数学 I までは、指数部分が正の整数である「累乗」を扱いますが、指数部分を実数全体まで拡張することができ、これを「べき乗」といいます。 累乗とべき乗 累乗:\(a^n\)(\(n\) は任意の正の整数) べき乗:\(a^x\)(\(x\) は任意の実数)当初、指数 \(n\) は底 \(a\) をかける回数(つまり正の整数)だと習うけれど、「実は指数はすべての実数をとれる」と解釈を拡張できるのですね。 指数の定義の拡張 指数がとる値を正の整数だけでなく、\(0\)・負の整数・有理数(分数)まで拡張すると、次のように定義できます。 指数の定義の拡張\(a \neq 0\)、\(n\) が正の整数のとき、 \(a^0 = 1\)(ゼロ乗の定義) \(\displaystyle a^{−n} = \frac{1}{a^n}\)(マイナス乗の定義)
\(a > 0\)、\(n\), \(m\) が正の整数のとき、 \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\)(有理数乗、つまり分数乗の定義)※ 右辺は累乗根さらに、\(a^x\) の指数 \(x\) が無理数であっても、\(a^x\) の値はある \(1\) つの実数値に近づくことから、その値を \(a^x\) と定義できます。 すなわち、指数は無理数まで含む実数全体をとることができるのです。 実数の指数法則(数II) 指数を実数全体まで拡張すると、指数法則は次のように表せます。 実数の指数法則\(a > 0\)、\(b > 0\)、\(r\), \(s\) が実数のとき、以下が成り立つ。
① \(a^r \times a^s = a^{r + s}\)
② \(a^r \div a^s = \displaystyle \frac{a^r}{a^s} = a^{r − s}\)
③ \((a^r)^s = a^{rs}\)
④ \((ab)^r = a^r b^r\)
⑤ \(\displaystyle \left( \frac{b}{a} \right)^r = \frac{b^r}{a^r}\)
累乗根 指数の定義を拡張する過程で、累乗根という新しい数の概念を定義します。 累乗根の定義\(n\) を正の整数とするとき、「\(n\) 乗すると \(a\) になる数」、すなわち \(x^n = a\) を満たす数 \(x\) を「\(a\) の \(n\) 乗根」という。 \(a\) の \(2\) 乗根、\(3\) 乗根、\(4\) 乗根…をまとめて「\(a\) の累乗根」という。 また、\(\sqrt[n]{a}\) を「\(n\) 乗根 \(a\)」という。 累乗根の性質 累乗根においては、次の計算規則が成り立ちます。 累乗根の性質\(a > 0\), \(b > 0\) で、\(m\), \(n\), \(p\) が正の整数のとき \((\sqrt[n]{a})^n = a\), \(\sqrt[n]{a} > 0\) であることから、次の性質が成り立つ。 ① \(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}\)
② \(\displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\displaystyle \frac{a}{b}}\)
③ \((\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\)
④ \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}\)
⑤ \(\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[np]{a^{mp}}\) 対数とは? 対数 \(\log\) とは、指数の値を求めるための道具です。 対数の定義\(a^x = M\) を満たす \(x\) の値 \(p\) を「\(a\) を底とする \(M\) の対数」といい、 \begin{align}p = \log_a M\end{align} と表す。 指数と対数の関係 対数は、指数との対応から定義されます。 指数と対数の関係\(a > 0\), \(a \neq 1\), \(M > 0\) のとき \begin{align}a^p = M \iff p = \log_a M\end{align} ![]() 真数条件・底の条件 \(a^x = M \iff x = \log_a M\) において、\(a\) を底、\(M\) を真数といいます。 指数・対数の問題を解く際は、真数や底のとりうる範囲に注意する必要があります。 底の条件と真数条件以下の条件のもと、対数 \(\log_a x\) が定義される。 底の条件:\(a > 0, a \neq 1\) 真数条件:\(x > 0\)![]() 対数の性質 対数には、次の計算規則が成り立ちます。 対数の性質\(a > 0\), \(a \neq 1\), \(M > 0\), \(N > 0\)、\(k\) は実数、\(n\) は \(2\) 以上の自然数のとき、 \(\log_a MN = \log_a M + \log_a N\) \(\displaystyle \log_a \frac{M}{N} = \log_a M − \log_a N\)特に、\(\displaystyle \log_a \frac{1}{N} = −\log_a N\) \(\log_a M^k = k\log_a M\)特に、\(\displaystyle \log_a \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_a M\)底の変換公式 対数の底は、自在に変換することができます。 底の変換公式\(a, b, c\) は正の数で \(a \neq 1\), \(b \neq 1\), \(c \neq 1\) のとき、 \begin{align}\displaystyle \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\end{align} 特に、\(\displaystyle \log_a b = \frac{1}{\log_b a}\) 常用対数 \(10\) を底とする対数 \(\log_{10} N\) を「常用対数」といいます。 常用対数正の数 \(N\) は \(a \times 10^n\)(\(1 \leq a < 10\), \(n\) は整数)で表され \begin{align}\log_{10} N = n + \log_{10} a, \ 0 \leq \log_{10} a < 1\end{align} ![]() 自然対数 ネイピア数 \(e\) を底とした対数 \(\log_e x\) を「自然対数」といいます。 \(\log x\) または \(\ln x\) と表すことも多いです。 自然対数\(x > 0\) のとき \begin{align}y = \log x \iff e^y = x\end{align} 特に、 \begin{align}\log e = 1 \iff e^1 = e\end{align} \begin{align}\log 1 = 0 \iff e^0 = 1\end{align} ![]() 指数関数と対数関数 指数部分に変数を含む関数を指数関数、対数の真数部分に変数を含む関数を対数関数といいます。 指数関数と対数関数 指数関数\(a > 0, a \neq 1\) のとき、\(a\) を底とする \(x\) の指数関数は\begin{align}y = a^x\end{align} 対数関数\(a > 0, a \neq 1\) のとき、\(a\) を底とする \(x\) の対数関数は\begin{align}y = \log_a x\end{align}![]() ![]() 指数関数・対数関数の微分公式 暗記しておくべき指数関数・対数関数の微分公式です。 指数関数・対数関数の微分公式\(a > 0\), \(a \neq 1\) のとき、 指数関数の微分\((e^x)’ = e^x\)\((a^x)’ = a^x \log a\) 対数関数の微分\(\displaystyle (\log x)’ = \frac{1}{x}\)\(\displaystyle (\log_a x)’ = \frac{1}{x \log a}\)\(\displaystyle (\log |x|)’ = \frac{1}{x}\)\(\displaystyle(\log_a |x|)’ = \frac{1}{x \log a}\)![]() 指数関数・対数関数の積分公式 暗記しておくべき指数関数・対数関数の積分公式です。 指数関数・対数関数の積分公式積分定数を \(C\) とおく。\(a > 0\), \(a \neq 1\) のとき、 指数関数の積分\(\displaystyle \int e^x \, dx = e^x + C\)\(\displaystyle \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\log a} + C\) 対数関数の積分\(\displaystyle \int \log x \, dx = x \log x − x + C\)![]() 指数関数・対数関数の極限公式 指数関数・対数関数の極限において、暗記しておくべき公式です。 指数関数・対数関数の極限公式 指数関数の極限\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} a^x = \left\{\begin{array}{l} \infty \ (1 < a)\\ 0 \ (0 < a < 1)\end{array}\right.\)\(\displaystyle \lim_{x \to −\infty} a^x = \left\{\begin{array}{l} 0 \ (1 < a)\\ \infty \ (0 < a < 1)\end{array}\right.\) 対数関数の極限\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \log_a x = \left\{\begin{array}{l} \infty \ (1 < a)\\ −\infty \ (0 < a < 1)\end{array}\right.\)\(\displaystyle \lim_{x \to +0} \log_a x = \left\{\begin{array}{l} −\infty \ (1 < a)\\ \infty \ (0 < a < 1)\end{array}\right.\) e の定義\(\begin{align}e &= \lim_{h \to 0} (1 + h)^{\frac{1}{h}} \\ &= \lim_{n \to \pm\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \\ &= 2.71828\cdots\end{align}\) 指数関数・対数関数を含む極限\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x − 1}{x} = 1\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\log(1 + x)} = 1\)![]()
以上が指数・対数の記事一覧でした! 指数と対数の対応を理解して、さまざまな問題に対応できるようにしましょう! |
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