频谱——信号的一种新的表示方法

频谱：周期信号分解后，各分量的幅度和相位对于频率的变化，分别为幅度谱和相位谱。

频谱图：将幅度和相位分量用一定高度的直线表示；其中幅度谱图反映了信号不同频率分量的大小。

三角函数形式分解

虚指数函数形式分解

引入虚指数形式(双边谱)是为了计算上的方便。

s i n x = e j x − e − j x 2 j sinx=\frac{e^{jx}-e^{-jx}}{2j} sinx=2jejx−e−jx​ S a ( x ) = s i n ( x ) x Sa(x)=\frac{sin(x)}{x} Sa(x)=xsin(x)​

注意脉冲的非0即1特性，数字信号由0-1表示或变形的，可以从矩形脉冲引申过去。 正弦等于0的点：零点

零点与零点间隔为 2 π τ \frac{2\pi}{\tau} τ2π​，谱线与谱线的间隔为 2 π T \frac{2\pi}{T} T2π​

周期信号频谱的特点： (1) 离散性：以基频 Ω Ω Ω为间隔的若干离散谱线组成； (2) 谐波性：谱线仅含有基频 Ω Ω Ω的整数倍分量 ω \omega ω是基波， n ω n\omega nω是谐波； (3) 收敛性：整体趋势减小。

谱线结构与波形参数的关系:

分析： T T T不变， τ \tau τ变小

结论： T T T不变， τ \tau τ变小

τ \tau τ不变， T ↑ T↑ T↑，幅度 ↓ ↓ ↓，间隔 Ω ↓ \Omega↓ Ω↓，频谱变密。

T → ∞ T→∞ T→∞时，谱线间隔 Ω = 2 π / T → 0 \Omega=2π/T →0 Ω=2π/T→0，谱线幅度 → 0 →0 →0，周期信号的离散频谱过渡为非周期信号的连续频谱。 T → ∞ T→∞ T→∞：得到信号一个周期内的部分，其他在无穷大以外，所以是非周期的。

收敛性分析:

(1) 振幅是收敛的：信号的能量主要集中在低频分量中。

(2) 收敛具有不同速度：信号越连续光滑，幅度谱衰减越快。

低频反映信号的主要信息，高频表现细节。

周期信号一般是功率信号，其平均功率为 这是帕斯瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现;

含义： 周期信号平均功率=直流和谐波分量平均功率之和。

表明： 对于周期信号，在时域中求得的信号功率与在频域中求得的信号功率相等。

频带宽度

在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的信号来表示，此频率范围称为频带宽度

由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。

(1) 一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为：

宽度与脉宽成反比

(2) 对于一般周期信号，将幅度下降为 1 10 ∣ F n ∣ m a x \frac{1}{10}|F_n|_{max} 101​∣Fn​∣max​的频率区间定义为频带宽度。

(3) 系统的通频带>信号的带宽，才能不失真。

ps:为了限制信号的幅频失真，就要求电路对信号所包含的各种频率成分都不要过分抑制，或者说要求电路容许一定频率范围的信号都通过，这个一定的频率范围称为电路的通频带。一般规定：在电路的通用谐振曲线上，比值不小于0.707的频率范围是放大电路的通频带，并以BW表示。

《工程信号与系统》作者：郭宝龙等 中国大学MOOC：信号与系统 ，西安电子科技大学，郭宝龙，朱娟娟