证明：这个证明比较简单。如图所示，采用的方法是，先设圆O1和O2相交于点S，再证明点S位于圆O3上。连接SA，SB，SC。 ∠1= 180°－∠P，∠2=180°－∠Q。从而∠3=360°－(∠1＋∠2)=360°－( 180°－∠P＋ 180°－∠Q)= ∠P＋ ∠Q= 180°－∠ R。所以，A、R、B、S四点共圆，即点S在三角形ABR的外接圆上。证毕。

下面我们从上面这个定理证明密克定理。密克定理是说：若三个点D、E、F分别是任意一个三角形ABC三边BC、CA、AB上的点，那么，过每个顶点及其三点中与这个顶点相邻边上的两个点都可以作一个圆，那么这样作出的三个圆共点（点S）。如下图所示。

其实，密克定理就是前面所证定理的一种特殊情况。我们可以把三角形DEF当成一个任意三角形，而三角形AEF，BFD和CDE则是三角形DEF三边外所作的三个三角形，且远角A、B、C之和等于180°，所以，这三个三角形的外接圆共点（图中点S）。其中的三角形DEF称为密克三角形。

下面再来推导涉及拿破仑三角形的一个定理。这个定理是说，从任意三角形的三边向外所作正三角形的中心也构成一个正三角形。如下图所示。

为了证明这个定理，我们还是从最前面的那个定理出发。如下图所示，在那个定理中，我们可以证明∠O1=∠P，∠O2=∠Q，∠O3=∠R。以对∠O1=∠P的证明为例。O1O2⊥CS，O1O3⊥BS，所以，∠O1与∠P都是∠BSC的补角，所以相等。

那么，在三个外侧三角形都是正三角形时，三个远角都是60°，所以，∠O1=∠O2=∠O3=60°，所以，三角形O1O2O3是正三角形。证毕。这个正三角形就是所谓的拿破仑三角形。返回搜狐，查看更多