§4.4　局部连通空间

　　本节重点:

　　掌握局部连通的定义与性质(定理4.4.1-4.4.3)；

　　掌握连通与局部连通的关系.

　　引进新的概念之前，我们先来考察一个例子．

　　例4.4.1　在欧氏平面中令S={(x,sin(1/x))|x∈(0,1]}．T={0}×[-1,1],其中S被称作拓扑学家的正弦曲线，它是区间（0，1]在一个连续映射下的象，因此是连通的．此外，也容易验证＝S∪T，因此＝S∪T也是连通的．尽管如此，倘若我们查看 中的点，容易发现它们明显地分为两类：S中的每一个点的任何一个“较小的”邻域中都包含着一个连通的邻域，而T中的每一个点的任何一个邻域都是不连通的.我们用以下的术语将这两个类型的点区别开来．

　　定义4.4.1　设X是一个拓扑空间，x∈X．如果x的每一个邻域U中都包含着x的某一个连通的邻域V，则称拓扑空间X在点x处是局部连通的．

　　如果拓扑空间X在它的每一个点处都是局部连通的，则称X是一个局部连通空间．

　　回到例4.4.1中所定义的拓扑空间．容易证明，在其属于S的