已有 45138 次阅读 2014-6-3 13:49 |个人分类:数学常识|系统分类:科普集锦

一位网友问了我一个问题，本想直接搜个答案给他，可网上的解答没一个靠谱的，只好自己写一个。

所谓Borel集是指拓扑空间中的开集经过至多可数次的交、并、差运算得到的σ-域中的元素，也可以说成拓扑空间中含开集的最小σ-域中的元素，两者是一回事，这里仅限于欧氏空间进行讨论。有人问：“为什么Borel集全体的势与实数集一样？”通俗点说：“为什么Borel集合的个数与实数的个数一样多？”

我以通俗的方式解释这个问题，叙述未必很严谨。要回答这个问题，先要了解这样的结论：“由两个元素组成的所有可能的序列构成的集合与实数一样多。”这个结论在任何一本集合论或实变函数书籍中都可以找到，只要利用二进制便很容易完成证明。这个结论可以推而广之：“由k个元素组成的所有可能的序列构成的集合与实数一样多。”其证明可以模仿k=2情形如法炮制，只要把二进制改成k进制即可。有了这个结论后，剩下的问题就简单了。

交、并、差这三个运算可以看着三个元素，由这三个元素组成的所有可能的序列与实数一样多。一个Borel集可以与一列开集及交、并、差组成的一个序列相对应。而开集的个数与实数的个数一样多，换句话说，可以在Borel集与一列和实数一样多的集合之间做一个对应关系。稍微数学化点说就是：可以在Borel集全体与可数个实数集的笛卡尔积之间做一个一一对应。我们知道，后者与实数一样多，所以Borel集与实数一样多。用数学语言表达即：Borel集全体具有连续势。

与之相关的另一个问题是：Lebesgue可测集有多少？为了说清楚这个问题，我们先看有限集，众所周知，如果一个集合含N个元素，那么由这个集合的任意子集构成的集合全体有2N 个元素，当N≧1时，2N>N。对于无穷集而言，有没有类似的结论？具体地说，如果A有c个元素（这里的c不是有限数，而是无穷大），那么A的所有子集构成的集合有多大？我们可以把它的元素个数记着2c，你可能会猜测2c应该严格大于c。善哉，你猜对了，证明却远比有限集情形复杂。

我们知道，任何零测集都是Lebegue可测集，Cantor三分集是个零测集（好比区间的长度为0），然而它与实数一样多，这是个有点令人不可思议的现象，可事实的确如此。假如我们把Cantor集所含元素的个数记着c，那么Cantor集的所有子集构成的集合所含元素个数就是2c。而零测集的任何子集还是零测集从而可测，可见可测集的个数不小于2c，它会不会大于这个数呢？你只要知道Lebesgue可测集是欧氏空间的一个子集，而欧氏空间中的点与实数一样多，便不难得知可测集全体不会大于2c了。

由此可见，Lebesgue可测集远比Borel集多。