对角态射

2024-02-06 09:38| 来源: 网络整理| 查看: 265

对范畴 C 中的对象 X, 其对角态射是形如ΔX:Xx⟶X×X,⟼(x,x)的态射. 对角态射是对角映射在范畴论中的推广.

目录1定义2性质3无穷范畴中的对角线4相关概念1定义

定义 1.1 (对象的对角线). 设范畴 C 有有限积, X∈C. 则 X 的对角态射, 或称对角线, 指的是态射ΔX:X→X×X,由以下图表唯一确定: XX×XXX ,ΔX1X1Xp2p1其中 p1,p2:X×X→X 是向各分量的投影.

定义 1.2 (态射的对角线). 设范畴 C 有纤维积, f:X→Y 是 C 中态射. 则 f 的对角态射, 或称对角线, 指的是态射Δf:X→X×YX,由以下图表唯一确定: XX×YXXXY .Δf1X1Xp2p1┌ff态射 Δf 也常常记为 ΔX/Y.

注 1.3. 映射 f:X→Y 的对角线就是 f 作为俯范畴 C/Y 的对象的对角线, 因为 C/Y 中的二元积就是 C 中在 Y 上的纤维积. 反之如 C 有终对象 ∗, 则对象 X∈C 的对角线就是映射 X→∗ 的对角线.

2性质

本节中总是假设所需的积、纤维积存在.

命题 2.1. 对角态射总是单态射. 一个态射是单态射当且仅当其对角态射是同构.

证明. 证明. 注意往任一分量的投影都是对角态射的左逆, 立得对角态射总是单. 至于后一句话, 由于一个态射是单射 (同构) 当且仅当对任一对象 c 把 Hom(c,−) 作用上去之后是集合单射 (同构), 而命题只涉及极限构造, 故作用 Hom(c,−), 可化归到集合范畴. 此时具体写出元素, 结论便是显然的.

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以下命题将对角线、乘积、纤维积三者联系起来. 它被 Ravi Vakil 称为 “魔法图表”.

命题 2.2. C 是范畴, f:X→Z, g:Y→Z 是 C 中态射. 则X×ZYZX×YZ×Zf×gid×idΔZf×g是拉回图表.

证明. 证明. 依定义, 一个图表是拉回当且仅当对任一 c∈C, 其在作用 Hom(c,−) 之后是集合范畴的拉回. 而命题中所有东西都是极限, 都和 Hom(c,−) 交换, 所以只需在集合范畴中验证. 这样由集合纤维积的定义命题显然.

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以下元定理在代数几何中比较常用.

定理 2.3. C 是范畴, P 是 C 中态射的一个性质, 对复合和基变换封闭. f:X→Y 和 g:Y→S 是 C 中映射. 如复合态射 gf 满足 P, 对角线 Δg 也满足 P, 则有映射 f 满足 P.

证明. 把 f 分解为图像态射 Γf:X→X×SY 和投影 π:X×SY→Y 的复合. π 是 gf 的基变换, 所以它满足 P; 对 C/S 中态射 f, idY 用命题 2.2, 知 Γf 沿图表XYX×SYY×SYfΓfΔgf×id是 Δg 的基变换, 所以它也满足 P; 所以它们的复合 f 满足 P.

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3无穷范畴中的对角线

(定义. 关于 n-截断. 如有 Δ!=Δ∗ 则有 f!→f∗. 从而要求对角线满足某性质是更基本的要求.)

4相关概念

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单态射

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分离态射

范畴论基本概念范畴 • 群胚 • 函子 • 自然变换 • 自然同构 • 范畴等价 • 交换图范畴的构造子范畴 • 全子范畴 • 反范畴 • 积范畴 • 函子范畴 • 俯范畴、仰范畴 • 逗号范畴 • 纤维积范畴 • 粘连范畴 • 局部化万有构造万有构造 • 可表函子 • 伴随函子 • Kan 扩张 • 余极限、极限 • 始对象、终对象、零对象 • 余积、积、双积 • 推出、拉回 • 余等子、等子 • 余核、核 • 余端、端 • 余像、像范畴的结构加性范畴 • 正合范畴 • 拟 Abel 范畴 • Abel 范畴 • 三角范畴 • 微分分次范畴 • 幺半范畴 • 对称幺半范畴 • 范畴模 • 纤维范畴 • 群胚纤维范畴 • 弱等价范畴 • 模型范畴范畴的性质带点范畴 • 余完备范畴、完备范畴 • 积闭范畴 • 可表现范畴 • 可达范畴范畴代数范畴代数 • 幺半对象 • 群对象 • 模对象 • 单子 • 单子代数 • 算畴 • 算畴代数层论预层 • Yoneda 引理 • 景 • 层 • 广义对象 • 意象推广充实范畴 • 内范畴 • 双范畴 • n 重范畴 • 多元范畴 • 2-范畴 • ∞-范畴[查看模板]

术语翻译

对角态射 • 英文 diagonal morphism • 德文 diagonaler Morphismus • 法文 morphisme diagonal • 拉丁文 morphismus diagonalis • 古希腊文 διαγώνιος μορφισμός

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