函数的凹凸性与拐点习题 |
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前置知识:函数的凹凸性与拐点 例题求 y = x e x − e x + 1 y=xe^x-e^x+1 y=xex−ex+1的单调性,极值,凹凸性及拐点。 解: \qquad 令 f ( x ) = x e x − e x + 1 f(x)=xe^x-e^x+1 f(x)=xex−ex+1 \qquad 定义域为 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (−∞,+∞), f ( x ) = x e x − e x + 1 , f ′ ( x ) = x e x + e x − e x = x e x f(x)=xe^x-e^x+1,f'(x)=xe^x+e^x-e^x=xe^x f(x)=xex−ex+1,f′(x)=xex+ex−ex=xex \qquad 可能的极值点: x = 0 x=0 x=0 ( − ∞ , 0 ) (-\infty,0) (−∞,0) 0 0 0 ( 0 , + ∞ ) (0,+\infty) (0,+∞) f ′ ( x ) f'(x) f′(x) − - − 0 0 0 + + + f ( x ) f(x) f(x) ↘ \searrow ↘极小 ↗ \nearrow ↗\qquad 单调递增区间: ( − ∞ , 0 ] (-\infty,0] (−∞,0],单调递减区间: [ 0 , + ∞ ) [0,+\infty) [0,+∞),极小值为 f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f(0)=0 f ′ ′ ( x ) = e x + x e x = ( x + 1 ) e x \qquad f''(x)=e^x+xe^x=(x+1)e^x f′′(x)=ex+xex=(x+1)ex \qquad 可能的拐点: x = − 1 x=-1 x=−1 ( − ∞ , − 1 ) (-\infty,-1) (−∞,−1) − 1 -1 −1 ( − 1 , + ∞ ) (-1,+\infty) (−1,+∞) f ′ ′ ( x ) f''(x) f′′(x) − - − 0 0 0 + + + f ( x ) f(x) f(x)凸拐点凹\qquad 凸区间: ( − ∞ , − 1 ] (-\infty,-1] (−∞,−1],凹区间: [ − 1 , + ∞ ) [-1,+\infty) [−1,+∞),拐点: ( − 1 , 1 − 2 e − 1 ) (-1,1-2e^{-1}) (−1,1−2e−1) |
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