一、单调性的判定法 如果函数 y=f(x) 在 [a,b] 上单调增加(单调减少)，那么它的图形是一条沿 x 轴正在上升(下降)的曲线.可知，这时曲线上各点的切线斜率是非负的(非正的)，即y′=f′(x)≥0（y′=f(x)≤0），反之亦然. 可见，函数的单调性与其导数的符号有密切的关系.

由此可得 定理：设函数 y=f(x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导. (1)如果 (a,b) 内 f′(x)≥0 ，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数 y=f(x) 在 [a,b] 上单调增加； (2)如果 (a,b) 内 f′(x)≤0 ，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数 y=f(x) 在 [a,b] 上单调减少；

二、函数极值点 函数极值的定义：设函数 f(x) 在点 x0 的某邻域 U(x0) 内有定义。如果对于去心邻域 U˚(x0) 内的任一 x ，有

联系函数的单调性可知，函数的极值点一般出现在其导数为0的点(驻点，又称稳定点)，或者不可导点(导数不存在)

要使驻点是极值点，必须满足该点两侧的导函数正负符号相反.

需要明确的是，函数的极值点并不是一个点，而是极值所对应的x值. 在上图中， x1、x2、x4、x5、x6 均为驻点，且是极值点，而 x3 是一个驻点，但不是极值点.

下面是可导函数取极值的充分必要条件说明 ①第一充分条件： 设函数 f(x) 在 x0 处连续，且在 x0 的某去心邻域 U˚(x0,δ) 内可导 (1)若 x∈(x0−δ,x0) 时， f′(x)>0 ；而 x∈(x0,x0+δ) 时 f′(x)