不知道题主给了英文答案为什么还问。那我用中文写一遍。。。。

首先，你要知道几个关于Ramsey Number的几个结论

1、 R(n,2)=n

2、 R(m,n)\le R(m-1,n)+R(m,n-1)

3、 R(m,n)=R(n,m)

4、 R(3,3)=6

对与第2条，如果 R(m-1,n) 和 R(m,n-1) 都是偶数，不等式可以加强为：

R(m,n)\le R(m-1,n)+R(m,n-1)-1

用上面的结论，可以得到

R(3,4)\le R(2,4)+R(3,3)-1=9

下面就需要证明8是一个不可能的啦！

画一个正八边形，蓝色红色见下面。

那么，这个图里面没有全是蓝边的3个定点的完全子图，也没有全是红边组成4个顶点的完全子图（注意是四个点两两相连）

再给一个只针对问题本身的“初等办法”

上面的那个图说明了 R(3,4)>8 ,我们来证明9满足条件就行。

结论1 ： 考虑一个顶点 A ，如果该顶点引出不少于4条的蓝边，那么这些顶点组成的完全图必有3个顶点蓝边完全图，或者4个顶点的红边完全图。

证明： 设 (A,a),(A,b),(A,c),(A,d), 四条边都是蓝边，那么 a,b,c,d 组成的完全图中有蓝边(比如 (a,b) 蓝边)则 A,a,b组成的完全图里全是蓝边。要么 a,b,c,d 组成全是红边的完全图。

如果你注意到，上面的结论本质是利用了 R(2,4)=4 ，那么下面的结论2就好办了

结论2 ： 考虑一个顶点 A ，如果该顶点引出不少于6条的蓝边，那么这些顶点组成的完全图必有3个顶点蓝边完全图，或者4个顶点的红边完全图。

证明： 设 (A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(A,e),(A,f) 六条边都是红边，那么根据 R(3,3)=6 的结论，a,b,c,d,e,f 组成的完全图中要么有3个顶点蓝边完全图，要么有3个顶点红边边完全图。后一种情况和 A 组成4个顶点的红边完全图。

于是，利用上面的结论，当这个图有9条边的时候，我们用反证法。

如果9不满足条件，那么从一个顶点引出的边有8条，蓝边3条，红边5条。

这是蓝边数量不超过 \frac{3\times9}{2}=13.5 ,即是说不超过 13 条

这是蓝边数量不超过 \frac{5\times9}{2}=22.5 ,即是说不超过 22 条

这样总边数不超过两个加起来 35 条。但9个顶点的完全图总边数为 C_{9}^{2}=36 ，矛盾

相当于把前面的2性质证明了一遍。