定积分中值定理依结论的强弱有两个稍微不同的版本：

Version 1.0 若 f(x) \in C[a,b]， 则 \exists~ \xi \in \color{red}{[a,b]} ~~s.t.\int_a^b f(x){\rm d}x=f(\xi)(b-a).

Version 2.0 若 f(x) \in C[a,b]， 则\exists~ \xi \in \color{red}{(a,b)}~~s.t.\int_a^b f(x){\rm d}x=f(\xi)(b-a).

上述两个版本的差别，仅仅在于对 \xi 存在的区间断定有所不同，1.0版本断言的是闭区间，2.0版本断言的是开区间。由于后者可以在逻辑上蕴含前者，给出的 \xi 位置更为具体，因此，2.0可以视为1.0的加强版。

为何会出现这样两个不同的版本呢？原因是大多数教材的处理方式。1.0版本是在引入微积分基本公式（即Newton-Leibniz公式）之前就用连续函数的介值定理推证出来的，而介值定理的结论较弱，它无法排除 \xi 在区间端点的可能性。而2.0版本是在引入微积分基本公式之后，借助变上限积分函数的构造，用Lagrange中值定理证得的，它挖掘出更多的信息作为条件，因此就让结论升级。

一句话，两个版本都是正确的，如果为了减轻记忆的负担，可以只记忆2.0。