拉普拉斯变换终值定理公式如下： lim ⁡ t → ∞ f ( t ) = lim ⁡ s → 0 s F ( s ) \lim _{t \rightarrow \infty} f(t)=\lim _{s \rightarrow 0} s F(s) t→∞lim​f(t)=s→0lim​sF(s) 要知道这个公式在自控中的用途，还得从它的意义讲起。 如公式的左边，我们知道这个公式的目标是求 f ( t ) f(t) f(t)的终值，由于在自动控制原理中，大部分函数都是在一个值的附近不断波动的，但波动会随着时间不断减小最后变为0，因此，这个公式可以直接求得 f ( t ) f(t) f(t)函数稳定后不受波动变化时的稳定值。 那么，这个公式的意义在于简化了繁琐的求解过程。为什么这样说呢？我们知道，为了解一个复杂的微分方程，普遍方法是使用拉普拉斯变换辅助求解获得目标函数，但是此方法比较容易获得到的是 F ( s ) F(s) F(s)也就是 L [ f ( t ) ] L[f(t)] L[f(t)]，而距离获得目标函数，还要对其进行拉普拉斯反变化来获得，最后才进行极限求解。而这一个公式，直接省去了拉普拉斯反变换的过程，直接进行极限求解，因此说这个公式简化了求解过程。

我们用一个简单的例子来讲述终值定理如何运用： 假设一个系统的闭环传递函数为： Φ ( s ) = 1 T s + 1 \Phi(s)=\frac{1}{T s+1} Φ(s)=Ts+11​ 若给一个单位阶跃信号，求其稳态值。 求其复域响应： C ( s ) = R ( s ) ⋅ Φ ( s ) = 1 s ⋅ 1 T s + 1 C(s)=R(s)\cdot\Phi(s)=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{T s+1} C(s)=R(s)⋅Φ(s)=s1​⋅Ts+11​

使用拉普拉斯反变换求时间响应; c ( t ) = L − 1 [ C ( s ) ] = 1 − e − 1 T t c(t)=L^{-1}\left[ C(s) \right]=1-e^{-\frac{1}{T} t} c(t)=L−1[C(s)]=1−e−T1​t 利用极限求稳态值; lim ⁡ t → ∞ c ( t ) = lim ⁡ t → ∞ 1 − e − 1 T t = 1 \lim _{t \rightarrow \infty} c(t)=\lim_{t \rightarrow\infty}1-e^{-\frac{1}{T} t}=1 t→∞lim​c(t)=t→∞lim​1−e−T1​t=1 由此可知,稳态值为1。

由拉普拉斯终值定理公式，可写： lim ⁡ t → ∞ c ( t ) = lim ⁡ s → 0 s C ( s ) = lim ⁡ s → 0 s ⋅ 1 s 1 T s + 1 = lim ⁡ s → 0 1 T s + 1 = 1 \begin{aligned} \lim _{t \rightarrow \infty} c(t)&=\lim _{s \rightarrow 0} s C(s)\\ &=\lim_{s\rightarrow0}s\cdot\frac{1}{s}\frac{1}{T s+1}\\ &=\lim_{s\rightarrow 0 }\frac{1}{T s+1}\\ &=1 \end{aligned} t→∞lim​c(t)​=s→0lim​sC(s)=s→0lim​s⋅s1​Ts+11​=s→0lim​Ts+11​=1​ 与普通方法对比，结果相同，但其计算过程却简便了不少。

我们继续用上一个例子来讲述终值定理： 假设一个系统的闭环传递函数为： Φ ( s ) = 1 T s + 1 \Phi(s)=\frac{1}{T s+1} Φ(s)=Ts+11​ 若给一个单位斜坡信号，求其稳态误差。 求其复域响应： C ( s ) = R ( s ) ⋅ Φ ( s ) = 1 s 2 ⋅ 1 T s + 1 C(s)=R(s)\cdot\Phi(s)=\frac{1}{s^2}\cdot\frac{1}{T s+1} C(s)=R(s)⋅Φ(s)=s21​⋅Ts+11​ 则误差复域信号为： E ( s ) = R ( s ) − R ( s ) ⋅ Φ ( s ) = R ( s ) ⋅ [ 1 − Φ ( s ) ] = 1 s 2 ( 1 − 1 T s + 1 ) = 1 s 2 T s T s + 1 \begin{aligned} E(s)&=R(s)-R(s)\cdot\Phi(s)=R(s)\cdot[1-\Phi(s)]\\ &=\frac{1}{s^2}(1-\frac{1}{T s+1})\\ &=\frac{1}{s^2}\frac{Ts}{T s+1} \end{aligned} E(s)​=R(s)−R(s)⋅Φ(s)=R(s)⋅[1−Φ(s)]=s21​(1−Ts+11​)=s21​Ts+1Ts​​

求误差时间响应： e ( t ) = L − 1 [ E ( s ) ] = T − T e − t T \begin{aligned} e(t)&=L^{-1}[E(s)]=T-Te^{-\frac{t}{T} } \end{aligned} e(t)​=L−1[E(s)]=T−Te−Tt​​ 同样，利用极限： lim ⁡ t → ∞ e ( t ) = lim ⁡ t → ∞ T − T e − t T = T \lim_{t \rightarrow\infty}e(t)=\lim_{t \rightarrow\infty}T-Te^{-\frac{t}{T}}=T t→∞lim​e(t)=t→∞lim​T−Te−Tt​=T 即，稳态误差为 T T T。

由拉普拉斯终值定理公式，可写： lim ⁡ t → ∞ e ( t ) = lim ⁡ s → 0 s E ( s ) = lim ⁡ s → 0 s ⋅ 1 s 2 T s T s + 1 = lim ⁡ s → 0 T T s + 1 = T \begin{aligned} \lim _{t \rightarrow \infty} e(t)&=\lim _{s \rightarrow 0} s E(s)\\ &=\lim_{s\rightarrow0}s\cdot\frac{1}{s^2}\frac{Ts}{T s+1}\\ &=\lim_{s\rightarrow 0 }\frac{T}{T s+1}\\ &=T \end{aligned} t→∞lim​e(t)​=s→0lim​sE(s)=s→0lim​s⋅s21​Ts+1Ts​=s→0lim​Ts+1T​=T​ 由此，比较两方法发现结果相同。