球坐标系中的偏微分算符

2024-07-15 08:27| 来源: 网络整理| 查看: 265

球坐标系中的偏微分算符

贡献者： addis

预备知识 1　正交曲线坐标系中的矢量算符 1. 矢量算符

　　球坐标系中标量函数 $u(r, \theta, \phi)$ 和矢量函数 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} (r, \theta, \phi)$ 的梯度，散度，旋度和拉普拉斯算符的公式如下。其中 $r$ 是极径，$\theta $ 是极角，$\phi $ 是方位角。推导见下文。

梯度算符 \begin{equation} \boldsymbol\nabla u = \frac{\partial u}{\partial r} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + \frac{1}{r\sin \theta } \frac{\partial u}{\partial \phi} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} ~. \end{equation} 散度算符 \begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial{r}} (r^2 v_r) + \frac{1}{r\sin \theta} \frac{\partial}{\partial{\theta}} (\sin\theta v_\theta) + \frac{1}{r\sin \theta} \frac{\partial v_\phi}{\partial \phi} ~. \end{equation} 旋度算符 \begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{v}} = & \frac{1}{r\sin \theta} \left[ \frac{\partial}{\partial{\theta}} (\sin \theta v_\phi) - \frac{\partial v_\theta}{\partial \phi} \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + \frac1r \left[\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial v_r}{\partial \phi} - \frac{\partial}{\partial{r}} (r v_\phi) \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \\ &+ \frac1r \left[ \frac{\partial}{\partial{r}} (r v_\theta) - \frac{\partial v_r}{\partial \theta} \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} ~. \end{aligned} \end{equation} 拉普拉斯算符 \begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 u = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol\nabla u) = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial{r}} \left(r^2 \frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial{\theta}} \left(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{\phi}^{2}} ~. \end{equation} 推导

　　位置矢量的微分可以表示为

\begin{equation} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \,\mathrm{d}{r} + r \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \,\mathrm{d}{\theta} + r\sin\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \,\mathrm{d}{\phi} ~. \end{equation} 未完成：该式的推导应该在正交曲线坐标系中完成。代入式 3 到式 8 即可完成推导。 2. 拉普拉斯算符的径向和角向分解

　　为了书写方便小时百科中定义两个算符 $ \boldsymbol{\nabla}^2 _r$ 和 $ \boldsymbol{\nabla}^2 _\Omega$ 满足

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 = \boldsymbol{\nabla}^2 _r + \frac{ \boldsymbol{\nabla}^2 _\Omega}{r^2}~. \end{equation} 其中 $ \boldsymbol{\nabla}^2 _r$ 只对 $r$ 求偏导（式 4 右边第一项），$ \boldsymbol{\nabla}^2 _\Omega$ 只对 $\theta,\phi$ 求偏导（式 4 右边后两项）。该分解有助于使用分离变量法求解球坐标系中的拉普拉斯方程。

　　 $ \boldsymbol{\nabla}^2 _\Omega$ 还可以进一步分解为两个矢量算符的点乘

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 _\Omega = \boldsymbol\nabla _\Omega \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla _\Omega~. \end{equation} 其中 \begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol\nabla _\Omega &= \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol\nabla \\ &= \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \frac{\partial}{\partial{\theta}} - \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial{\phi}} \\ &= - \left(\sin\phi \frac{\partial}{\partial{\theta}} + \cot\theta\cos\phi \frac{\partial}{\partial{\phi}} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \left(\cos\phi \frac{\partial}{\partial{\theta}} - \cot\theta \sin\phi \frac{\partial}{\partial{\phi}} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \frac{\partial}{\partial{\phi}} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~. \end{aligned} \end{equation} 该分解在量子力学中有应用，见 “球坐标系中的角动量算符”。

　　推导：只需要把 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} = r \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 和式 1 代入 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol\nabla $，再把结果换到直角坐标系中即可。

3. 其他偏微分算符 预备知识 2　复合函数的偏导、链式法则（多元微积分）

　　把 $r,\theta,\phi$ 看成直角坐标 $x,y,z$ 的函数（式 2 ），则有

\begin{equation} \frac{\partial r}{\partial x} = \sin\theta\cos\phi, \qquad \frac{\partial r}{\partial y} = \sin\theta\sin\phi, \qquad \frac{\partial r}{\partial z} = \cos\theta~. \end{equation} \begin{equation} \frac{\partial \theta}{\partial x} = \frac{\cos\theta\cos\phi}{r}, \qquad \frac{\partial \theta}{\partial y} = \frac{\cos\theta\sin\phi}{r}, \qquad \frac{\partial \theta}{\partial z} = -\frac{\sin\theta}{r}~. \end{equation} \begin{equation} \frac{\partial \phi}{\partial x} = -\frac{\sin\phi}{r}, \qquad \frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{\cos\phi}{r}, \qquad \frac{\partial \phi}{\partial z} = 0~. \end{equation} 根据多元函数的链式法则， \begin{equation} \frac{\partial}{\partial{x}} = \sin\theta\cos\phi \frac{\partial}{\partial{r}} + \frac{\cos\theta\cos\phi}{r} \frac{\partial}{\partial{\theta}} -\frac{\sin\phi}{r} \frac{\partial}{\partial{\phi}} ~, \end{equation} \begin{equation} \frac{\partial}{\partial{y}} = \sin\theta\sin\phi \frac{\partial}{\partial{r}} + \frac{\cos\theta\sin\phi}{r} \frac{\partial}{\partial{\theta}} +\frac{\cos\phi}{r} \frac{\partial}{\partial{\phi}} ~, \end{equation} \begin{equation} \frac{\partial}{\partial{z}} = \cos\theta \frac{\partial}{\partial{r}} - \frac{\sin\theta}{r} \frac{\partial}{\partial{\theta}} ~. \end{equation} 致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。

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