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拉普拉斯变换的性质

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拉普拉斯变换的性质

2024-07-04 13:30| 来源: 网络整理| 查看: 265

线性性质：

$\pounds [f_{1}(t)]=F_{1}(S)$

$\pounds [f_{2}(t)]=F_{2}(S)$

$\alpha$ 、 $\beta$ 为常数

则有

$\pounds [\alpha f_{1}(t)+\beta f_{2}(t)]=\alpha F_{1}(S)+\beta F_{2}(S)$

拉普拉斯逆变换

$\pounds^{-} [\alpha F_{1}(S)+\beta F_{2}(S)]=\alpha f_{1}(t)+\beta f_{2}(t)$

要记忆的拉普拉斯变换

$\pounds[e^{rt}]=\frac{1}{s-r}$ 单位阶跃函数移动r

$\pounds[sinRt]=\frac{R}{s^{2}+R^{2}}$ (sinRt的拉普拉斯逆变换）

$\pounds[cosRt]=\int_{0 }^{+\infty}cosRt\cdot e^{-st}=\frac{S}{s^{2}+R^{2}}$ （cosRt的拉普拉斯逆变换）

$\pounds[u(t)]=\int_{0 }^{+\infty}u(t)\cdot e^{-st}=\int_{0 }^{+\infty} e^{-st}dt=-\frac{1}{s}e^{-st}=\frac{1}{s}$ （单位阶跃函数的拉普拉斯逆变换）

$\pounds[t^{m}]=\frac{m!}{s^{m+1}}$ （t的m次方的拉普拉斯逆变换）

拉普拉斯变换的例题

已知 $F(S)=\frac{1}{(s-a)(s-b)}$ 求 $\pounds ^{-}[F(S)]$

解：

$\pounds ^{-}[F(S)]=\pounds^{-1}\frac{1}{(s-a)(s-b)}=\pounds^{-1}\frac{1}{a-b}(\frac{1}{s-a}-\frac{1}{s-b})$

$=\frac{1}{a-b}\cdot e^{at}-\frac{1}{a-b}\cdot e^{bt}$

2.位移性质

$\pounds[e^{at}f(t)]=F(s-a)$ （f(t)函数乘 $e^{at}$ 的拉普拉斯变换等于s-a的逆变换

例3

$\pounds[e^{at}t^{m}]=\pounds[t^{m}]\mid s-a=\frac{m!}{s^{m+1}}\mid s-a=\frac{m!}{(s-a)^{m+1}}$

性质3：微分性质

(1). $\pounds[f{}'(t)]=sF(s)-f(0)$ （一次求导）

$\pounds[f{}''(t)]=s^{2}F(s)-sf(0)-f{}'(0)$ （二次求导）

$\pounds[f^{n}(t)]=s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f{}'(0)-....-f^{n-1}(0)$ （n次求导）

(2).

$\pounds[tf(t)]=-F{}'(s)$ （t乘f(t)函数的拉普拉斯变换等于拉普拉斯变换的求导）

$\pounds[t^{n}f(t)]=(-1)^{n}F^{n}(s)$

例由 $\pounds[sinRt]$ 计算 $\pounds[cosRt]$

解：

$(cosRt){}'=-RsinRt$ （求导)

$\pounds[(cosRt){}']=S\pounds[cosRt]-1=\pounds[-RsinRt]$ (借助微分性质1，求解）

$(1-\frac{R^{2}}{s^{2}+R^{2}})/s=\frac{s}{s^{2}+R^{2}}$

例：求 $\pounds[te^{-2t}sint]$

解：

$\pounds[te^{-2t}sint]=-\pounds[e^{-2t}sint]{}'=\frac{2}{(s+2)^{2}+4}$

积分性质：

（1）

$\pounds[\int_{0}^{t}f(t)dt]=\frac{1}{s}F(s)$

推广到n阶

$\pounds[\int_{0}^{t}\int_{0}^{t}\int_{0}^{t}...\int_{0}^{t}f(t)dt]=\frac{1}{s^{n}}F(s)$

(2)

$\pounds[\frac{f(t)}{t}]=\int_{+\infty }^{s}F(s)ds$

例

$\pounds[\int_{0}^{t}sintdt]=\frac{1}{s}(\frac{1}{s^{2}+1})$ (用到上面的积分公式）

$\pounds[\int_{0}^{t}sint\cdot e^{t}dt]=\frac{1}{s}(\frac{1}{(s-1)^{2}+1})$

使用积分2性质

$\pounds ^{-}[\frac{e^{-2t}sint}{t}]=\int_{s}^{\infty }\pounds[e^{-2t}sint]ds=\int_{s}^{\infty }\frac{1}{(s+2)^{2}+1}$

5.延迟性质

若当t

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