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【DSP】信号变换的共轭性、对称性、奇偶虚实性以及自己的一些思考

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【DSP】信号变换的共轭性、对称性、奇偶虚实性以及自己的一些思考

2024-07-13 04:25| 来源: 网络整理| 查看: 265

前言

虽然在上学期的“信号与系统”中就学习过该性质，但是一直没有熟练掌握，对奇、偶、虚、实、共轭一直存在混淆。今天在DFT的性质中再次遇到，推导了一遍，决定记录下来。

信号的分解 1.共轭性

x(t)为一复数信号，F为某种变换（FT,ZT,DTFT,DFT...），X(f)为变换后的频谱函数

$x(t)\overset{F}{\rightarrow}X(f)$ $x^{*}(t)\overset{F}{\rightarrow}X^{*}(-f)$

$X(f)\overset{F^{-1}}{\rightarrow}x(t)$ $X^{*}(f)\overset{F^{-1}}{\rightarrow}x^{*}(-t)$

2.虚实分解（以时域为例）

$x(t)=Re[x(t)]+Im[x(t)]$

$Re[x(t)]=\frac{1}{2}[x(t)+x^{*}(t)]$

$Im[x(t)]=\frac{1}{2j}[x(t)-x^{*}(t)]$

3.奇偶分解（以时域为例）

$x_{e}(t)=x_{e}^{*}(-t)$

$x_{o}(t)=-x_{o}^{*}(-t)$

$x(t)=x_{e}(t)+x_{o}(t)$

$x_{e}(t)=\frac{1}{2}[x(t)+x^{*}(-t)]$

$x_{o}(t)=\frac{1}{2}[x(t)-x^{*}(-t)]$

特别注意，xe(t)与Xe(f)并不是变换对的关系，xe(t)是信号的偶分量，而Xe(f)是频谱的偶分量，二者不可混为一谈！

4.奇偶虚实性

奇偶虚实性是综合运用上面三种性质得出的。

注意：共轭奇/偶对称部分仍为复数，不要忘记 j

$Re[x(t)]\leftrightharpoons X_{e}(f)$

$jIm[x(t)]\leftrightharpoons X_{o}(f)$

$x_{e}(t)\leftrightharpoons Re[X(f)]$

$x_{o}(t)\leftrightharpoons jIm[X(f)]$

实/虚“偶”/“奇”

以第一条为例：x(t)的实分量，对应Xe(f)的“偶”（共轭对称）分量，即Xe(f)实偶奇虚。

证明：

$x(t)=a(t)+jb(t)$

$X(f)=\int_{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-jwt}dt$

$=\int_{-\infty }^{+\infty }[a(t)+jb(t)]*[coswt-jsinwt]dt$

$=\int_{-\infty }^{+\infty }[a(t)coswt+b(t)sinwt]dt+j\int_{-\infty }^{+\infty }[b(t)coswt-a(t)sinwt]dt$

$X_{a}(f)=\int_{-\infty }^{+\infty }a(t)coswtdt-j\int_{-\infty }^{+\infty }a(t)sinwtdt$

由于对t积分，积分结果只含f(w)，因为积分的线性，所以Xa(f)的实部是f的偶函数，虚部是f的奇函数。

5.若x(t)为实信号

$x(t)\rightleftharpoons X(f)=X^{*}(-f)$ $X_{e}(f)=X(f)$ $X_{o}(f)=0$

$x_{e}(t)\rightleftharpoons Re[X(f)]=Re[X(-f)]\rightleftharpoons x_{e}(-t)$

$x_{o}(t)\rightleftharpoons jIm[X(f)]=-jIm[X(-f)]\rightleftharpoons -x_{o}(-t)$

6.1***再谈奇偶虚实*** 奇偶实虚奇/0实偶/0虚实奇/0虚偶/0 (1)线性变换

变换不改变函数的奇偶性，但对虚实性有影响：

偶函数的傅里叶变换不引入系数，虚实性保持不变；

奇函数的傅里叶变换将引入系数 j,从而改变虚实性。

其原因是变换是线性变换。

(2)复信号

实偶虚偶 ---> 实偶虚偶

实奇虚奇 ---> 实奇虚奇

实偶虚奇 ---> 实偶虚 0

实奇虚偶 ---> 实 0 虚奇

(3)实信号

实偶 ---> 实偶

实奇 ---> 虚奇

6.3总结

由于几乎用不到例如“实部奇虚部偶”的信号，所以完全没有必要记住6中的表格，只需记住 “奇偶虚实”特性和变换前后不改变奇偶性即可。

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