拉普拉斯变换和拉普拉斯分析基于matlab总结 |
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拉普拉斯变换和拉普拉斯分析基于matlab总结
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** 所用的MATLAB函数：** dirac(t) 冲激函数 heaviside(t) 阶跃函数 laplace(ft) 单边拉普拉斯变换 ilaplace(Fs) 拉普拉斯逆变换 num=[1 0];den=[1 0 100]; %X=s/(s^2+100) sys=tf(num,den); %建立一个传递函数，分子为num,分母为den poles=roots(den) %求极点 pzmap(sys); %零极点分布图显示 [r,p,k]=residue(num,den) num den分子分母多项式的系数向量 r部分分式的系数 p为极点 k为多项式系数，若为真分式，其为0 roots(den)函数计算H（s）的零极点 format rat %使用分数来表示数值 pretty(Ys);%看起来好看的Ys yzit=vpa(yzit0,4); %vpa 设置精度，0.001111 四位 t1=linspace(eps,5,100); %eps = 1/4503599627370496=0+； ht1=subs(ht,t,t1); %置换函数 syms t->t1数值点，求冲激函数各时点的数值解 t=0:0.02:15;mpulse(num,den,t);step(num,den,t); 冲激响应 阶跃响应绘图 [H,w]=freqs(num,den); plot(w,abs(H))；plot(w,angle(H))求得幅频相频响应 正文** ** 1.从傅里叶变换到拉普拉斯变换 3.单边拉普拉斯变换 结果： D =1 U = 1/s G =1/s - exp(-s)/s X =1/(s + 2) 3.单边拉普拉斯变换的性质 X = s/(s^2 + 100) Y = (s + 1)/((s + 1)^2 + 100) poles = 0.0000 +10.0000i 0.0000 -10.0000i poles = -1.0000 +10.0000i -1.0000 -10.0000i
已知线性时不变系统的微分方程为 y″（t）+3y′（t）+2y（t）=f′（t）+3f（t） 输入信号f（t）=e–4tε（t），y（0–）=1，y′（0–）=1，求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。 %y''+3y'+2y=f'+3f syms t s; ft=exp(-4*t)*heaviside(t); %输入信号 a=[1 3 2];b=[1 3];%微分方程系数向量 y0=[1 1]; %系统初始状态 y0(1)=y(0-) y0(2)=y'(0-) Fs=laplace(ft); %%计算Cs即C（s） n=length(a)-1;Cs=0; for k=1:n; for r=0:(k-1); Cs=Cs+a(n-k+1)*y0(r+1)*s^(k-1-r); end end As=s^2+3*s+2;Bs=s+3; Hs=Bs./As; ht=ilaplace(Hs);disp('系统冲激响应');ht Ys=Cs/As+Bs/As*Fs;disp('Y(s)='); pretty(Ys);%看起来好看的Ys yt=ilaplace(Ys);disp('全响应');yt yzit0=ilaplace(Cs/As);yzit=vpa(yzit0,4); %vpa 设置精度，0.001111 四位 disp('零输入响应');yzit disp('零输入响应');yzit yzst0=ilaplace(Bs/As*Fs);yzst=vpa(yzst0,4); disp('零状态响应');yzst %%绘图 t1=linspace(eps,5,100); %eps = 1/4503599627370496=0+； ht1=subs(ht,t,t1); %置换函数 syms t->t1数值点，求冲激函数各时点的数值解 subplot(211);plot(t1,ht1); title('冲激响应');grid; yt1=subs(yt,t,t1);subplot(212);plot(t1,yt1,'r--'); yzit1=subs(yzit,t,t1);hold on;plot(t1,yzit1,'k--'); yzst1=subs(yzst,t,t1);hold on;plot(t1,yzst1,'b--'); title('系统响应') legend('全响应','零输入','零状态'); 系统冲激响应 ht = 2*exp(-t) - exp(-2*t) Y(s)= s + 4 s + 3 ------------ + ---------------------- s ^2 + 3 s + 2 (s + 4) (s^2 + 3 s + 2) 全响应 yt = (11*exp(-t))/3 - (5*exp(-2*t))/2 - exp(-4*t)/6 零输入响应 yzit = 3.0*exp(-1.0*t) - 2.0*exp(-2.0*t) 零状态响应 yzst = 0.6667*exp(-1.0*t) - 0.5*exp(-2.0*t) - 0.1667*exp(-4.0*t)
6.系统函数与系统特性 （1）若极点位于s平面的坐标原点，即Hs=1/s，则h（t）=ε（t），冲激响应是阶跃信号。 （2）若极点位于s平面的实轴上，即Hs=1/s+a，则h（t）=e–atε（t），若a＞0，冲激响应是指数衰减信号；若a＜0，冲激响应是指数增长信号。 （3）若极点位于s平面的虚轴上，即Hs=w0/s2+w02，则h（t）=sinω0t ε（t），冲激响应是等幅的正弦振荡。 （4）若极点位于s平面的左半平面，并共轭成对，即Hs=w0/(s+a)2+w02，则h（t）=e–atsinω0t ε（t），此时a＞0，冲激响应是衰减振荡；若a＜0，极点位于s平面的右半平面，则冲激响应是增幅振荡。 若系统函数具有重极点，那么重极点对应的部分分式的逆变换可能具有t，t2，…与指数函数相乘的形式
系统的稳定性 实际应用中，通常利用H（s）的极点分布来判断系统的稳定性。根据极点的分布状况，系统可分为稳定的、临界稳定的和不稳定的。 （1）稳定系统：若H（s）的极点全部位于s平面的左半平面，则系统是稳定的。 （2）临界稳定系统：若H（s）在原点或虚轴上有单阶极点，其余的极点全部位于s平面的左半平面，则系统是临界稳定的。 （3）不稳定系统：若H（s）的极点不全位于s平面的左半平面，或在原点或虚轴上有高阶重极点，则系统是不稳定的。 |
2.双边拉普拉斯变换的收敛域 
（1） 因果的。当t＜0时，f（t）=0。若因果信号的双边拉普拉斯变换存在，则其收敛域在其极点右边的一个平面。 （2） 反因果的。当t＞0时，f（t）=0。若反因果信号的双边拉普拉斯变换存在，则其收敛域在其极点左边的一个平面。 （3）非因果的，以上二者的组合。若非因果信号的双边拉普拉斯变换在，则其收敛域是其因果部分的收敛域和其反因果部分的收敛域的交集。
利用MATLAB求解laplace求信号的单边拉普拉斯变换 符号法：
MATLAB比较cos10t ε（t）和e–tcos10t ε（t）的极点位置，分析s域平移性质对收敛域的影响 符号计算法
4.单边拉普拉斯逆变换 4.1 部分分式展开法 1.单极点 实数 2.共轭复极点
5 连续系统的拉普拉斯分析 
完全响应=零输入响应+零状态响应
零极点分布决定系统的频率特性
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