定理： 设 f ( x , y ) , f y ( x , y ) f(x,y),f_y(x,y) f(x,y),fy​(x,y) 都是闭矩形 [ a , b ] × [ c , d ] [a,b]\times [c,d] [a,b]×[c,d],上的连续函数，又设 a ( y ) , b ( y ) a(y),b(y) a(y),b(y) 是在 [ c , d ] [c,d] [c,d] 上的可导函数，满足 a ⩽ a ( y ) ⩽ b , a ⩽ b ( y ) ⩽ b a\leqslant a(y)\leqslant b,a\leqslant b(y)\leqslant b a⩽a(y)⩽b,a⩽b(y)⩽b，则函数

F ( y ) = ∫ a ( y ) b ( y ) f ( x , y ) d x F(y)=\int_{a(y)}^{b(y)}f(x,y)\mathrm{d}x F(y)=∫a(y)b(y)​f(x,y)dx

在 [ c , d ] [c,d] [c,d] 上可导，并且在 [ c , d ] [c,d] [c,d] 上成立

F ′ ( y ) = ∫ a ( y ) b ( y ) f y ( x , y ) d x + f ( b ( y ) , y ) b ′ ( y ) − f ( a ( y ) , y ) a ′ ( y ) F'(y)=\int_{a(y)}^{b(y)}f_y(x,y){\rm d}x+f(b(y),y)b'(y)-f(a(y),y)a'(y) F′(y)=∫a(y)b(y)​fy​(x,y)dx+f(b(y),y)b′(y)−f(a(y),y)a′(y)

说实话这个定理看起来容易让人迷惑，下面举个例子吧

例： 设

F ′ ( y ) = ∫ 0 y ln ⁡ ( 1 + x y ) x d x , y > 0 F'(y)=\int_0^y\frac{\ln(1+xy)}{x}\mathrm{d}x,\quad y>0 F′(y)=∫0y​xln(1+xy)​dx,y>0

求 F ′ ( y ) F'(y) F′(y)

F ′ ( y ) = ∫ 0 y 1 1 + x y d x + ln ⁡ ( 1 + y 2 ) y = ( ln ⁡ ( 1 + x y ) y ) ∣ 0 y + ln ⁡ ( 1 + y 2 ) y = 2 y ln ⁡ ( 1 + y 2 ) \begin{aligned} F'(y)&=\int_{0}^y\frac{1}{1+xy}\mathrm{d}x+\frac{\ln(1+y^2)}{y}\\ &=\left.\left(\frac{\ln(1+xy)}{y}\right)\right|_0^y+\frac{\ln(1+y^2)}{y}\\ &=\frac{2}{y}\ln(1+y^2) \end{aligned} F′(y)​=∫0y​1+xy1​dx+yln(1+y2)​=(yln(1+xy)​)∣∣∣∣​0y​+yln(1+y2)​=y2​ln(1+y2)​