多阶段抽样是推广的整群抽样。在整群抽样中，抽样总体被划分为若干个PSU(primary sampling unit)，每一个PSU中含有的抽样单元每一个都是一个SSU(second-stage sampling unit)，将抽中的PSU内的所有SSU入样。而多阶段抽样在抽中的PSU中，对PSU所含有的SSU进行第二阶段的抽样，抽取子样本。以此类推，还可以有第三阶段、第四阶段的抽样。

如对一所学校内的学生进行抽样，可以先抽取宿舍(PSU)，如果是整群抽样，则抽中的宿舍中所有学生都入样；如果是多阶段抽样，则在抽中的宿舍中进一步抽取学生(SSU)。

本文主要考虑等概率两阶段抽样，以下定义相关符号。

与整群抽样一致，总体中的PSU个数记作\(N\)，第\(i\)个\(N\)中含有的SSU个数记作\(M_i\)，SSU总数为\(M_0=\displaystyle{\sum_{i=1}^{N}M_i}\)，特别当各种群规模一致时，记

总体中第\(i\)个PSU的第\(j\)个SSU观测值记作\(Y_{ij}\)，总体总值为\(\displaystyle{Y=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M_i}Y_{ij}}\)，第\(i\)个PSU的总值为\(\displaystyle{Y_i=\sum_{j=1}^{M_i}Y_{ij}}\)。总体按SSU的均值为\(\displaystyle{\bar{\bar Y}=\frac{Y}{M_0}=\frac{1}{M_0}\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M_i}Y_{ij}}\)，第\(i\)个PSU按SSU的均值为\(\displaystyle{\bar Y_i=\frac{Y_i}{M_i}=\frac{1}{M_i}\sum_{j=1}^{M_i}Y_{ij}}\)。

总体PSU间的方差记作\(\displaystyle{S_1^2=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(\bar Y_i-\bar{\bar Y})^2}\)，注意没有\(M_i\)项；总体第\(i\)个PSU内SSU间的方差为\(\displaystyle{S_{2i}^2=\frac{1}{M_i-1}\sum_{j=1}^{M_i}(Y_{ij}-\bar{Y_i})^2}\)，方差均值为\(\displaystyle{S_2^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}S_{2i}^2}\)。

各样本的参数均为总体的小写。

下述定理对任何估计量\(\hat\theta\)都是成立的。

定理：对于两阶段抽样，有

其中，\(\mathbb{E}_2,\mathbb{D}_2\)分别表示在固定初级单元时，对第二阶段抽样的均值和方差；\(\mathbb{E}_1,\mathbb{D}_1\)分别表示对第一阶段抽样的均值和方差。

以上定理是全期望公式在两阶段抽样的特殊形式，如果定义\(T\)为抽取的初级单元，则有

方差是另一形式的期望，记\(\mathbb{E}(\hat\theta)=\theta\)，则

以后记\(\mathbb{E}_1[\mathbb{E}_2(\theta)]=\mathbb{E}_1\mathbb{E}_2(\hat\theta)\)。

此时，初级单元中，二级单元个数相等为\(M\)。第一阶段从包含\(N\)个初级单元的总体中以简单随机抽样抽取\(n\)个初级单元，第二阶段在每个被抽中的初级单元所包含的\(M\)个二级单元中，以简单随机抽样抽取\(m\)个二级单元。注意到两个阶段的抽样都是简单随机抽样，因此都具有抽样比，第一阶段的抽样比记作\(f_1=\dfrac{n}{N}\)，第二阶段的抽样比记作\(f_2=\dfrac{m}{M}\)。

此时，总体均值的估计为

要注意此估计量的前一种形式，这相当于对群均值\(\bar{y}_i\)抽样的简单估计。

定理：

\(\bar{\bar y}\)是\(\bar{\bar Y}\)的无偏估计。

\(\bar{\bar y}\)的方差为

由于两个阶段都是简单随机抽样，故

此式中，\(\mathbb{E}_2(\bar{y}_i)=\bar Y_i\)是因为，此时固定了抽样单元，故\(\bar{y}_i\)是第\(i\)个群的群内简单估计，从而是群内的无偏估计；\(\displaystyle{\mathbb{E}_1\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\bar Y_i \right)=\bar{\bar Y}}\)是因为，此时将每一个群均值视为抽样单元执行简单随机抽样，因为在等规模情况下群均值的均值就是总体均值（上篇文章已证明），故括号内的统计量是简单估计，从而是无偏的。这个抽样性质在下方方差的计算中也将运用。

对于方差，有

这里应注意\((*)\)式成立，是因为\(\mathbb{D}_2\)的处理是将诸\(i\)视为已知量，即已经选定了抽取的样本，从而每一个\(\mathbb{D}_2(\bar {y}_i)\)应独立于\(\mathbb{E}_1\)计算。

由于\(S_1^2\)与\(S_2^2\)未知，故\(\mathbb{D}(\bar{\bar y})\)未知，需要对其进行估计。但此时不能简单使用\(s_1^2,s_2^2\)直接替代。

定理：\(\mathbb{D}(\bar{\bar y})\)的无偏估计为

这里

要分别计算\(s_1^2\)和\(s_2^2\)的期望并代回\(v(\bar{\bar y})\)，由期望迭代，先计算\(\mathbb{E}_2\)，于是

记\(\bar{\bar Y}_n=\displaystyle{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\bar Y_i}\)，它指的是对于已经选中的群的群均值的均值，与群均值的均值\(\bar{\bar Y}\)不一样。引入此符号后，有

从而

对第三个等号，需要注意到\(\displaystyle{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(\bar Y_i-\bar{\bar Y}_n)^2}\)实际上是简单随机抽样下的样本方差，因此由第一部分定理，它是\(\displaystyle{S_1^2=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(\bar Y_i-\bar{\bar Y})^2}\)的无偏估计；另外\(\displaystyle{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}S_{2i}^2}\)是简单随机抽样下的样本均值，它是总体均值\(\displaystyle{S_2^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}S_{2i}^2}\)的无偏估计。

同理，对于\(s_2^2\)，有

将\(\displaystyle{\mathbb{E}(s_1^2)=S_1^2+\frac{1-f_2}{m}S_2^2},\mathbb{E}(s_2^2)=S_2^2\)代入\(\mathbb{E}[v(\bar{\bar y})]\)的表达式，就得到

从结果上看，\(v(\bar{\bar y})\)更像是用\(s_1^2,s_2^2\)配凑出的式子。

与整群抽样类似，在初等单元规模不等时，常常先估计总体总值，此时

定理：

\(\hat Y_{u}\)是\(\hat Y\)的无偏估计。

\(\hat Y_{u}\)的方差为

对\(\mathbb{D}(\hat Y_{u})\)的无偏估计为

这里

证明过程类似于前面等规模的情形，有

对于方差，有\(\mathbb{D}(\hat Y_u)=\mathbb{E}_1[\mathbb{D}_2(\hat Y_u)]+\mathbb{D}_1[\mathbb{E}_2(\hat Y_u)]\)，从而

相加即得到所需结果。

对于\(v(\hat Y_{u})\)，同样的证明过程可以得知\(\mathbb{E}(s_2^2)=S_2^2\)，同样用期望迭代可以计算得

与整群估计一致，如果各个\(M_i\)差异很大，会导致简单估计量精度低。以\(M_i\)作为\(Y_i\)的辅助变量，采用比率估计量估计总体总值，得到的估计量\(\hat Y_{R}\)虽然是有偏的，但均方误差比较小。

在设计一个两阶段样本时，需要考虑以下四个问题：

假定PSU规模相等，考虑费用函数为

则\(m\)的最优值为

再根据\(m_{opt}\)计算\(n\)，从而确定最优抽样比\(f_1,f_2\)，这里有