本文完全原创；

主要涉及解析几何知识————二次曲线一般理论：圆锥曲线仿射特征＆度量特征；不变量法；转轴＆移轴化简二次曲线方程；抛物线的基本几何性质。

首先介绍两种包络线的求法

法一：给定曲线族F(x,y,t)=0,t为参数，假设包络线存在，则包络线含在下列两方程t

消去t后所得曲线F(x,y)=0中【称F(x,y)=0为上述曲线族的判别曲线，需检验】

法二：来自本人读过的解析几何竞赛书，此方法由本人整理出

对某一曲线族，先将其降至一个参数t，整理出关于该参数t的二次以上的方程，该方程恒有实根，故

上述不等式表示曲线F(x,y)及其外部，因此包络线即为临界情况：F(x,y)=0

下文中要用到的则是第二种方法，该方法在处理次数为2次的情况较为方便

定理【源自《圆锥曲线的几何性质》——Trin.1885.(本人对命题加以完善】

平面直角坐标系[O；i,j]中，若直线PQ于x，y轴交于不重合的两点P，Q，且PQ中点M恒在一条不平行于坐标轴的定直线l上，则直线PQ总是与一条定抛物线相切（即包络线为抛物线）。

证明：设定直线l：y=kx+m（显然k,m≠0）

直线PQ：(x/a)+(y/b)=1（a,b≠0）

⇒P(a,0),Q(0,b) ⇒

中点M(a/2,b/2)

代入直线l方程，两边同乘2得b=ka+2m,该式代入PQ方程，降至一个参数a

整理成关于a的二次方程：

该方程恒有实根

上述不等式表示曲线F(x,y)及其外部，于是包络线就是F(x,y)=0，即

这是一条二次曲线，其方程不是标准形式，于是用不变量法判别曲线类型

由I2=0且I3≠0可知该曲线为抛物线！得证！

判断这是条抛物线还远远不够，我们希望获得它的对称轴，开口朝向，焦参数p，焦点，准线的具体位置

对称轴：

首先，由于抛物线的轴为渐近方向的垂直方向的直径，很容易写出：

由于I1≠0，得u=(k,-k²)平行于渐进方向，故u’=( k²,k)垂直于渐进方向

因此对称轴为

整理得

这就是抛物线的对称轴方程了！

效果图如下

开口朝向：

由

因此开口朝向由m的正负决定!

①当m＞0时，上式＜0，开口朝向为u=(-k,k²)，如下图

②当m＜0时，上式＞0，开口朝向为u=(k,-k²)

焦参数p/焦点/准线：

直接求很麻烦

从它的对称轴方程可看出,该抛物线可能是由一条稍微正常一点的抛物线旋转arctan(-k)得到的，因此坐标轴对应转角θ= arctan(-k)，因此sinθ=k/√(k²+1)（这里先假定θ不超过π）

作转轴

即

把它代入F(x,y)=0化简一下

配方，并移项得

把(k²+1)除过去，把x提出，得

于是由上式可以看出焦参数p= |4km(k²+1)^(-3/2) |

至于焦点和准线的位置，需对km的正负进行分类讨论

当km＞0时

F’(x’,y’)=0焦点F’坐标

因此抛物线F(x,y)=0的焦点F（懒得代进去算了.jpg）

准线要方便的多：

F’(x’,y’)=0的准线为

因此F(x,y)=0的准线为

效果图如下

事实上，当km＜0时，准线仍然是y=x/k，由于对称轴和准线方程唯一确定下来了，焦点表达式也唯一确定！

最后解释一下为什么标题中有个“另”字

因为抛物线又一种包络形成，可直接用来定义抛物线：

平面内两定点A,B到一动直线作垂线段AP,BQ；若四边形ABQP的面积为定值【常数】，则动直线的包络为抛物线。

（这个应该人人都知道【bushi

这里不予以证明了【用文中提到的两种方法均可，最后抛物线是上下开口的

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