在 R 3 R^3 R3中，将向量 β \beta β投影到向量 α \alpha α上的投影向量记为 Π α ( β ) \Pi_{\alpha}(\beta) Πα​(β)。 如上图， Π α ( β ) \Pi_{\alpha}(\beta) Πα​(β)与 α \alpha α共线，于是， Π α ( β ) = x e , ( 1 ) \Pi_{\alpha}(\beta)=xe,\quad (1) Πα​(β)=xe,(1) 其中， x x x为投影值，它的绝对值等于投影向量的长度， e = α ∣ α ∣ e=\frac{\alpha}{|\alpha|} e=∣α∣α​, 即与 α \alpha α同方向的单位向量。 下面求 x x x的值：

由点乘的计算公式， β ⋅ e = ∣ β ∣ ∣ e ∣ c o s θ = ∣ β ∣ c o s θ = x ( 2 ) \beta\cdot e=|\beta||e|cos\theta=|\beta|cos\theta=x \quad (2) β⋅e=∣β∣∣e∣cosθ=∣β∣cosθ=x(2) 将（2）代入（1），得

Π α ( β ) = x e = ( β ⋅ e ) e \Pi_{\alpha}(\beta)=xe=(\beta\cdot e) e Πα​(β)=xe=(β⋅e)e = β ⋅ α ∣ α ∣ α ∣ α ∣ = β ⋅ α α ⋅ α α ， =\frac{\beta\cdot \alpha}{|\alpha|}\frac{\alpha}{|\alpha|}=\frac{\beta\cdot\alpha}{\alpha\cdot\alpha}\alpha， =∣α∣β⋅α​∣α∣α​=α⋅αβ⋅α​α， 所以，

Π α ( β ) = β ⋅ α α ⋅ α α \Pi_{\alpha}(\beta)=\frac{\beta\cdot\alpha}{\alpha\cdot\alpha}\alpha Πα​(β)=α⋅αβ⋅α​α

例1 在 R 3 R^3 R3中，向量 β = ( 1 ， 2 ， 3 ) T , α = ( 1 , 1 , 1 ) T \beta=(1，2，3)^T,\alpha=(1,1,1)^T β=(1，2，3)T,α=(1,1,1)T，计算 Π α ( β ) . \Pi_{\alpha}(\beta). Πα​(β).

解： Π α ( β ) = 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 α = 6 3 α = 2 α . \Pi_{\alpha}(\beta)=\frac{1\cdot1+2\cdot 1+3\cdot 1}{1\cdot1+1\cdot 1+1\cdot 1}\alpha=\frac{6}{3}\alpha=2\alpha. Πα​(β)=1⋅1+1⋅1+1⋅11⋅1+2⋅1+3⋅1​α=36​α=2α.

在 n n n维欧式空间 P n P^n Pn中，点乘推广为内积，记为 ( β , α ) (\beta,\alpha) (β,α), 上述投影公式可推广为： Π α ( β ) = ( β , α ) ( α , α ) α . \Pi_{\alpha}(\beta)=\frac{(\beta,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\alpha. Πα​(β)=(α,α)(β,α)​α.

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