等差数列求和公式是数学中的一个重要公式，用于计算等差数列中所有项的和。等差数列是指每个相邻两项之间的公差相等的数列。例如，1,3,5,7,9 就是一个公差为2的等差数列。

等差数列求和公式可以表示为：

Sn=n2(a1+an)S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)Sn​=2n​(a1​+an​)

其中，SnS_nSn​ 表示前 nnn 项的和，a1a_1a1​ 表示第一项，ana_nan​ 表示第 nnn 项，nnn 表示项数。

这个公式是如何推导出来的呢？我们可以通过数学归纳法来证明。当 n=1n=1n=1 时,等差数列只有一个项,其和等于该项本身,即 S1=a1S_1 = a_1S1​=a1​。当 n>1n>1n>1 时,假设等差数列的前 n−1n-1n−1 项和为 Sn−1S_{n-1}Sn−1​,则第 nnn 项 ana_nan​ 可以表示为 an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)dan​=a1​+(n−1)d,其中 ddd 是公差。因此,前 nnn 项的和可以表示为:

Sn=Sn−1+an=Sn−1+a1+(n−1)dS_n = S_{n-1} + a_n = S_{n-1} + a_1 + (n-1)dSn​=Sn−1​+an​=Sn−1​+a1​+(n−1)d

将其代入等差数列求和公式中,得到:

Sn=n2(a1+an)=n2(a1+a1+(n−1)d)=n2(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(a_1 + a_1 + (n-1)d) = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)Sn​=2n​(a1​+an​)=2n​(a1​+a1​+(n−1)d)=2n​(2a1​+(n−1)d)

简化后可得等差数列求和公式:

Sn=n2(a1+an)=n2(a1+a1+(n−1)d)=n2(2a1+(n−1)d)=n⋅a1+n(n−1)2dS_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(a_1 + a_1 + (n-1)d) = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) = n\cdot a_1 + \frac{n(n-1)}{2}dSn​=2n​(a1​+an​)=2n​(a1​+a1​+(n−1)d)=2n​(2a1​+(n−1)d)=n⋅a1​+2n(n−1)​d

等差数列求和公式在数学中有着广泛的应用，例如在物理、工程、经济等领域中都有涉及。可以通过该公式快速、准确地计算等差数列的和,从而解决实际问题。

假设我们要计算一个公差为2，第一项为1的等差数列前5项的和，我们可以使用等差数列求和公式：

通过上述代码，我们计算出等差数列前5项的和为25。

总结：等差数列求和公式是一个非常重要的数学工具，它可以帮助我们快速、准确地计算等差数列的和，解决实际问题。在物理、工程、经济等领域中，它可以发挥重要的作用。