证明：如下图所示。过弧AC和BC（或两弦a和b）的公共点C作直径CD（因为圆是单位圆，所以直径的长度为2）。可以得到四边形ACBD。ACBD当然是圆内接四边形，所以，根据托勒密定理，有下式成立：

两边同时除以2，即得下面公式（公式1）：

我们还可以类似地（也需要画个图）得到两弧之差所对弦长的公式（公式2）：

我们甚至可以得到圆弧的一半所对弦长的公式（公式3）：

（公式3可以从公式1得来，只需在公式1中让a等于b，然后解出a，这当中要解一个一元二次方程，但很简单。）

三、三角公式

上面有关弦长的三个公式分别与三个三角公式即“两角和正弦公式”、“两角差正弦公式”、“半角正弦公式”等价，下面我们看一看如何从弦长公式推导出相应的三角公式。如下图所示：

设弧AC（或弦a）所对圆周角为α，弧BC（或弦b）所对圆周角为β，则弦AB所对圆周角为α+β。根据正弦定理，三角形的边与对角的正弦的比值等于常数（外接圆直径）；或者说，三角形的边等于它的对角的正弦值与三角形外接圆直径的乘积。所以，如果我们把圆内接四边形ACBD的四条边和一条对角线（另一条对角线为直径）都用直径和相关角的正弦、余弦表示，那么，我们便可以得到两角和的正弦公式。具体来说，把下面的表达式

代入上面公式中，得

于是，我们便得到两角和的正弦公式：

两角差的正弦公式也可以类似得到。下面详细推导一下半角的正弦公式。我们从下面的公式（即上面的公式3）出发：

如下图所示：

设弦s所对圆周角为α（希文阿尔法，注意与英文a的区别。α