用微积分来求曲线的长度。 （请先去阅读关于 导数 和 积分 的内容）

想象我们需要知道一条曲线上两点之间的距离，而这曲线是平滑的（导数是 连续的）。

我们可以把曲线切成小段，然后用 两点之间的距离 的公式来求一个近似值。

从 x0 到x1：

S1 = √ (x1 − x0)² + (y1 − y0)²

我们用  Δ （delta） 来代表值的差，所以：

S1 = √ (Δx1)² + (Δy1)²

我们需要很多这样的长度：

S2 = √(Δx2)² + (Δy2)² S3 = √(Δx3)² + (Δy3)² ………… Sn = √(Δxn)² + (Δyn)²

我们可以用 总和 的记法把全部的方程写在一个式子里：

可是，我们还是要做很多计算！

我们可以用一个很大的电子表格或者写一个计算机程序来做……不过在这里我们用另一个方法。

一个巧妙的方法：

来，开始：

首先，用 Δyi 除以 和 乘以 Δxi：

分解出 (Δxi)²：

把 (Δxi)² 从平方根里拿出来：

当 n 趋向 无穷大时 （趋向无穷多的线段，每段越来越小），总和变成：

这是一个 积分 ，我们用 dx 来代表 Δx 的长度趋向零（dy 也一样）：

dy/dx 是函数 f(x) 的 导数，可以写成 f’(x)：

我们不但不用计算和相加很多小线段的长度，我们还可以得到一个绝对准确的答案（假设我们可以求公式里的微分和积分）。

注意：这个积分也适用于变量是 y 的函数， x=g(y)：

所以步骤是：

先看一些简单的例子：

f(x) 是条水平线，所以导数是 f’(x) = 0

所以 2 和 3 之间的弧长是 1。答案其实一眼就可以看出来，不过我们至少知道用弧长公式也可以得到正确的答案！

有趣的是： 弧长公式里的 "(1 + ...)" 部分使得答案 至少 是 x 坐标之间的距离，当 f’(x) 等于零时（如上）便是一个例子。

导数：f’(x) = 1

单位正方形对角线的长度是 2 的平方根，对不对？

好，现在来看一些困难但实用的例子：

求形状如以下曲线的索桥的长度：

f(x) = 5 cosh(x/5)

曲线的图如下：

我们先来解一般情况！

悬挂的链的形状是一条叫 悬链线 的曲线：

f(x) = a cosh(x/a)

a 的值越大，线中间下垂越小 "cosh" 是 双曲余弦 函数。

导数是：f’(x) = sinh(x/a)

曲线是对称的，所以只用悬链线从中间到端点"b"的半条来做运算会比较容易：

因为有对称，我们只算了线的一半，整条线是从 −b 到 +b：

S = 2a sinh(b/a)

在现在的 具体情况中，a=5 并且从 −3 到 +3 是 6米 的距离

S = 2×5 sinh(3/5) = 6.367米 （精确到最近的毫米）

这个很重要！如果金属杆之间的链的长度是刚好 6米，我们便不能把链拉紧到可以连接两根金属杆，但如果长度是 6.367米就正好了。

导数是 y’ = (3/2)x(1/2)

我们可以用 换元积分法：

弧长公式是：

步骤：