实数和集合是数学上最基本的概念。

在数学中，实数是有理数和无理数的总称。 有理数就是可以表示成两个整数的比的数，即可表示成 p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}} 的形式的数，其中 p , q {\displaystyle p,q} 均为整数且 q ≠ 0 {\displaystyle q\not =0} 。明显，有理数就是整数（可以表示成 n a n {\displaystyle {\frac {na}{n}}} 的形式，其中 a , n {\displaystyle a,n} 皆为整数且 n ≠ 0 {\displaystyle n\not =0} ）和分数[包含一切有限小数及无限循环小数（下节证明）]的总称。实数又可以分为正数、零和负数。正数就是大于零的实数，负数就是小于零的实数。 无理数就是除有理数之外的实数，即不能表示成两整数之比的数。所有实数的集合则可称为实数系或实数连续统。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保守同构意义下它是唯一的，常用 R {\displaystyle \mathbb {R} } 表示。

在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线就叫做数轴。如图，数轴上表示数字0的点叫做数轴的原点，通常用 O {\displaystyle O} 表示；一般规定，原点的右侧（或上）为正方向，应标有箭头，原点的左侧（或下）为负方向；一般选取1为单位长度。

实数与数轴上的点是一一对应的，这就是实数的几何意义。为简便起见，通常用同一个字母或数既表示某个实数又表示实数在数轴上对应的点。 数轴上表示有理数的点叫有理点，表示无理数的点叫作无理点。在任意两个不同的有理点之间一定存在无穷个有理点，同样的，任意两个不同的无理点之间也一定存在无穷多个无理点，这就叫做有理点（数）和无理点（数）的稠密性。 任何不同的两个实数都可以比较大小。在数轴上，右边的数总大于左边的数。

设 a {\displaystyle a} 为一个实数，定义