矛盾性：在时域描述一个不连续的信号要求信号的有无穷的频率成分，但实际情况中不可能采样到无穷的频率成分。

实际中的信号采样系统只能采样一定的频率范围，对不连续信号（或有无穷频率成分的信号）采样将会存在频率截断。

频率截断会引起时域信号在不连续处产生“振铃效应”，这个现象成为吉布斯现象。

吉布斯现象：由于频率截断现象，具有无穷频率分量的信号在时域的不连续处会产生“振铃效应”。

吉布斯现象形成的原因是：频率截断。

“频率截断”可以简单地理解为一个理想的低通滤波器（截止频率为 w c w_c wc​），如下图所示：

低通滤波器只保留 ∣ w ∣ ≤ w c |w|\le w_c ∣w∣≤wc​的频率成分，因此输入信号的高频部分将被截断，丢失了部分频率信息势必会在时域上产生一定的影响。

下面将分别考虑低通滤波器对单位阶跃信号，矩形脉冲信号，周期矩形脉冲信号的响应来分析吉布斯现象：

低通滤波器的单位阶跃响应

理想的低通滤波器的频率响应为

H ( j w ) = G 2 w c ( w ) e − j w t d H(jw) = G_{2w_c}(w)e^{-jwt_d} H(jw)=G2wc​​(w)e−jwtd​

则单位阶跃响应为

S ( j w ) = H ( j w ) F ( u ( t ) ) = G 2 w c ( w ) e − j w t d ⋅ [ π δ ( w ) + 1 j w ] \begin{aligned} S(jw) &= H(jw)\mathscr{F}(u(t))\\ &= G_{2w_c}(w)e^{-jwt_d}\cdot [\pi \delta(w) + \frac{1}{jw}]\\ \end{aligned} S(jw)​=H(jw)F(u(t))=G2wc​​(w)e−jwtd​⋅[πδ(w)+jw1​]​

为求输出信号的时域波形，进行傅里叶反变换，有

s ( t ) = F − 1 ( S ( j w ) ) = 1 2 π ∫ − w c w c [ π δ ( w ) + 1 j w ] e − j w t d ⋅ e j w t d w = 1 2 + ∫ − w c w c 1 j w e j w ( t − t d ) d w = 1 2 + 1 2 π ∫ − w c w c 1 j w cos ⁡ [ w ( t − t d ) ] d w + 1 2 π ∫ − w c w c 1 w sin ⁡ [ w ( t − t d ) ] d w = 1 2 + 1 π ∫ 0 w c 1 w sin ⁡ [ w ( t − t d ) ] d w = 1 2 + 1 π ∫ 0 w c ( t − t d ) sin ⁡ x x d x \begin{aligned} s(t) &= \mathscr{F}^{-1}(S(jw))\\ &= \frac{1}{2\pi}\int_{-w_c}^{w_c} [\pi \delta(w) + \frac{1}{jw}]e^{-jwt_d}\cdot e^{jwt} \mathrm{dw}\\ &= \frac{1}{2} + \int_{-w_c}^{w_c}\frac{1}{jw} e^{jw(t-t_d)} \mathrm{dw}\\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2\pi}\int_{-w_c}^{w_c}\frac{1}{jw}\cos{[w(t-t_d)]}\mathrm{dw} + \frac{1}{2\pi}\int_{-w_c}^{w_c}\frac{1}{w}\sin{[w(t-t_d)]}\mathrm{dw}\\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\int_{0}^{w_c}\frac{1}{w}\sin{[w(t-t_d)]}\mathrm{dw}\\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\int_{0}^{w_c(t-t_d)} \frac{\sin x}{x} dx \end{aligned} s(t)​=F−1(S(jw))=2π1​∫−wc​wc​​[πδ(w)+jw1​]e−jwtd​⋅ejwtdw=21​+∫−wc​wc​​jw1​ejw(t−td​)dw=21​+2π1​∫−wc​wc​​jw1​cos[w(t−td​)]dw+2π1​∫−wc​wc​​w1​sin[w(t−td​)]dw=21​+π1​∫0wc​​w1​sin[w(t−td​)]dw=21​+π1​∫0wc​(t−td​)​xsinx​dx​

其中上式的积分部分称为正弦积分。输出信号的时域波形如图所示，它具有以下特点：

理想低通滤波器的单位阶跃响应