［《怎样解题》是由著名[美国]数学家和数学教育家G 波利亚所写得一部经久不衰的畅销书，虽然它讨论的是数学中发现和发明的方法和规律，但是对在其他任何领域中怎样进行正确思维都有明显的指导作用。本书围绕“探索法”这一主题，采用明晰动人的散文笔法，阐述了求得一个证明或解出一个数的数学方法怎样可以有助于解决任何“推理”性问题——从建造一座桥到猜出一个字谜。一代又一代的读者尝到了本书的甜头，他们在本书的指导下，学会了怎样摒弃不相干的东西，直捣问题的心脏。］

人名卡

人名：波利亚（George Polya，1887-1985）， 身份：美籍匈牙利数学家。 简介：生于布达佩斯，卒于美国。青年时期曾在布达佩斯、维也纳、巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。1914年在瑞士苏黎世工业大学任教，1938年任数理学院院长。1940年移居美国，历任布朗大学、斯坦福大学教授。1963年获美国数学会功勋奖。他是法国科学院、美国全国科学园和匈牙利科学院的院士。 曾著有《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》等，它们被译成多种文字，广为流传。

▪ 人名：波尔察诺（Boernard Bolzano，1781.10.5-1848.12.18） ▪ 身份：波希米亚(今捷克）数学家、逻辑学家、哲学家和神学家。 ▪ 简介：波尔察诺（Boernard Bolzano），1781年10月5日出生于布拉格，1804年在布拉格大学获得博士学位，1805年被任命该校宗教哲学教授，1818年当选为哲学系主任，因其反军国主 义观点和对天主教宗教信仰的坚持，1819年被大学解雇。在他的综合性逻辑学著作《科学理论》(Wissenschaftslehre)第三卷第293～575页中，有相当大的篇幅关于探索法。 ▪ 出处：波利亚《怎样解题》P48、Boernard Bolzano-维基百科

术语卡

术语：类比 ▪ 定义：类比（Analogy）是一种认知过程，将某个特定事物所附带的讯息转移到其他特定事物之上。类比通过比较两件事情，清楚揭示二者之间的相似点，并将已知事物的特点，推衍到未知事物中，但两者不一定有实质上的同源性，其类比也不见得「合理」。类比在记忆、沟通与问题解决等过程中扮演重要角色；于不同学科中也有各自的定义。类比是人类思考方式中的一种重要途径，可以用于辨识问题，解释概念，及发现新的事物或功能。 ▪ 印象：类比是一种相似性，相似的物体在某些方面彼此一致，而类似的物体则在它们相应部分的特定关系上相一致。 类比的优点： ◦ 类比可以达到数学精度的水平。 ◦ 任何类型的类比都能在发现解答起到一定的作用。 ◦ 类比推断是最普遍的推论方法，也是最重要的一种 类比的缺点： ◦ 若属性替换不当，容易造成认知偏差，甚至逻辑错误。 ◦ 滥用类比，在说理论证上很容易使得大脑因为认知吝啬鬼，而忽略两者的差异，造成偏差。 ▪ 例子：将长方体的对角线问题类比为矩形的对角线问题，解决立体几何的时候可以把问题类比为对应的平面几何问题。 ▪ 出处：波利亚《怎样解题》P31、Analogy-维基百科

术语：辅助元素 ▪ 定义：辅助元素（Auxiliary elements），旨在促进求解而引入的元素称为辅助元素。 ▪ 印象：通过辅助元素可以增加一些额外条件，将解题场景转化为更熟悉的、更低维的场景。引入辅助元素是引人注目的一步，要有动机和目标，或者是为了应用题目某个元素的定义，或者是为了突出题目已知条件的某个要素，不能随心所欲地引进辅助元素，这样对于我们在推理和创造方面学不到任何东西，而数学的趣味性就在于需要我们推理和创造性的充分发挥。 ▪ 例子：解一道几何题时，引入一条辅助线；解一道代数题时，引入一个辅助未知量。 ▪ 出处：波利亚《怎样解题》P39

术语：辅助题目 ▪ 定义：辅助题目（Auxiliary problem），旨在促进求解原题而引入的题目称为辅助题目。 ▪ 印象：辅助题目起到解决原来题目的作用，我们考虑辅助题目并不是为了它本身，而是我们希望对它的考虑可以有助于我们解决原来的题目，原题才是我们要达到的目的，而这道辅助题目则是我们试图达到目的的一种手段。想出一道辅助题目是一项重要的思维活动。 ▪ 例子：原题是已知长方体由一个顶点引出的三条棱长，求这个长方体的对角线长。引入的辅助题目是，已知矩形由一个顶点引出的两条边长，求这个矩形的对角线长。 ▪ 出处：波利亚《怎样解题》P43

术语：创造者悖论 ▪ 定义：创造者悖论（inventor’s paradox）是在为给定问题寻求解决方案时产生的一种现象。相对于解决一个特定类型的问题，解决一个更具普遍性的问题更加容易。创造者悖论现象广泛存在于数学、编程、逻辑以及其他涉及批判性思维的领域。 ▪ 印象：越是宏达的计划，越有机会获得成功。当我们从一道题目过渡到另一道题目时，常常会发现新的更宏大的题目要比原题更容易处理。多个问题也许要比一个问题容易解答。较全面的定理可能更容易证明；较普遍化的题目更容易解答。宏大的计划如果不是仅仅基于自负，而是基于洞察了那些超越表象的东西，它就更有可能成功。 ▪ 例子：阳志平老师说的批量思考。从思考「如何建立一家公司？」，到思考「如何建立一批公司？」 ▪ 出处：《怎样解题》P111、inventor’s paradox-维基百科

反常识

反常识：教师应该谨慎的、不露痕迹地帮助学生 ▪ 常识：教师应该全盘托出教学生，知无不言、言无不尽。 ▪ 反常识要点：教师通过不露声色的引导和给予合理的工作量，让学生获得尽可能多的独立工作的经验，感受到思维过程带来的乐趣，建立起自己的解题思维形成途径。教学生解题也是一种意志的教育。如果学生在学校中没有机会使自己体会到这种为解题奋斗而带来的各种情绪变化，他的数学教育就在最重要的一点上失败了。 ▪ 例子：想要提高学生的解题能力，教师得要一次一次地问同样的问题，指出同样的步骤，前提是这位老师熟悉和能够很好的应用探索法。未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？这些问题是普遍使用的，在研究各种各样的题目时问这些问题。观察未知量！并尽量相出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的题目。这是自然地、简单的、明显的、而且来自于普通的常识。 ▪ 出处：波利亚《怎样解题》

反常识：对某论题知识贫乏，是不容易产生好念头的 ▪ 常识：对新问题要么束手无策，要么用老经验去应对。 ▪ 反常识要点：一个好念头的基础是过去的经验和已有的知识。如果我们完全没有知识，则根本不可能产生好念头；仅仅靠记忆也不足以产生好念头。但若不重新收集一些有关事实，则也不会出现好念头。只有材料还不足以盖房子，但是不收集必需的材料也盖不了房子。解决数学问题所必需的材料是我们早已获得的数学知识的某些有关内容，如以前解决的问题，以前证明过的定理。经常的问自己：「有什么问题是与我现在的问题相关的，是可以类似利用的。」同时去做回忆和思考，最后得出一个好念头。

反常识：类比可以达到数学精度的水平 ▪ 常识：类比是含糊的、模棱两可的、不完整的或不完全清楚的，不可能精确 ▪ 例子：帕斯卡三角形，是由线段到三角形到四边形的类比得到。 ▪ 出处：波利亚《怎样解题》P32

反常识：数学在形成过程中其实是一种基于实践探索的归纳科学 ▪ 常识：数学一直是一门建立在严密的演绎推理之上的学科。 ▪ 反常识要点：通过研究解题的方法，我们觉察到了数学的另一面。是的，数学具有两个面，它既是欧几里得的严谨的科学，但同时也是别的什么。以欧几里得方式表现出来的数学看上去是一种系统的演绎科学；但在形成过程中的数学看上去却是一种实验性的归纳科学。这两个方面都如同数学科学本身一样古老，但是第二个方面从未完全以这种方式呈现给学生或教师自己，乃至一般的公众。中小学的数学课本，乃至大学高数课本，都侧重于讲解数学家们的成果，而没有特意讲解他们是如何得到这些成果的，于是给人的错觉就是：数学家是天才，从一些基本的公理出发，环环相扣地建立了整个数学大厦。事实上数学家跟物理学家一样，通过一定的方法论，在实践的基础上创造了璀璨的成果。 ▪ 例子：帕斯卡三角形，由线段到三角形到四边形的类比得到。 ▪ 出处：波利亚《怎样解题》

反常识：对你所不理解的问题做出答复是愚蠢的。为你所不希望的目标工作是悲哀的。 ▪ 常识：拿到题目立即做，知道多少做多少；找到一份工作不容易，要干一行，爱一行。 ▪ 例子：英语考试中好多阅读理解失分就在于没有理解题目，盲目找答案。很多学生学着不感兴趣的专业，很多人择业时做着自己不喜欢的工作，他们无法最大程度发挥自己的能力。 ▪ 出处：波利亚《怎样解题》 ▪ 撰写者：consumer1 反常识：类比是把双刃剑 ▪ 常识：如果两者在许多方面相似，我们就猜测它们在其他某一个方面也是相似的。如：在淘宝上买过假的奶粉，就认为淘宝上卖的都是假货。 ▪ 反常识要点：类比有风险，脑洞要谨慎。 ▪ 例子：小男孩的小狗需要到兽医那儿去医疗，于是他问：谁是兽医？动物的医生。哪种动物是动物的医生? ▪ 出处：波利亚《怎样解题》

反常识：越是宏大的计划，越有机会获得成功 ▪ 常识：在现实生活中，总体感觉小计划比大计划更容易完成。 ▪ 反常识要点：宏大的计划如果不是仅仅基于自负，而是基于洞察了超越那些表面现象的东西，它就更有可能获得成功。越宏大的事情，更容易抽象出本质以及发现共性，本质共性更容易被发现的话，解决共性所体现的关键问题，整体事件就被解决了。太过微观的视角有时让人更多地看到一些不确定、无意义的细节，宏观的视角有助于摒弃这些干扰的细节，把握问题的本质，直达目标。 ▪ 例子：同时看十本书比看一本书更容易理解。思考批量解决问题，比单个问题更可能产生思路。又例如做项目计划。当面临一个复杂的项目的时候，很多细枝末节的东西你无法预知，风险难以识别。相反，比较大的里程碑更容易定义，如果试图制定过多、过细的计划，只会增加认知负荷、徒增烦恼，不如遵循渐进明细的原则，从确定里程碑开始，在可预期的情况下去做工作计划。 ▪ 出处：波利亚《怎样解题》P111