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选择性第二册同步巩固，难度2颗星！

在某个区间\((a ,b)\)内，若\(f'(x)>0\)，则函数\(y=f(x)\)在这个区间内单调递增； 若\(f'(x)0\)时，不能想当然:\(x> \dfrac{1}{a}\)；要分\(a=0\)，\(a>0\)，\(a0\)时 \(a0\)，\(f(x)\)在\(R\)上为增函数， (2)若\(k≠0\)时，则由\(kx+1=0\)得\(x=- \dfrac{1}{k}\) (需要对\(y=kx+1\)的斜率正负讨论) ① 若\(k>0\)时， 当\(x0\)，\(f(x)\)递增； ② 当\(k0\)，函数单调递增， \(x \in\left(-\infty, \dfrac{1}{m}-1\right)\)时，\(f'(x)0\)，函数单调递增.   情况2 二次函数型

【典题1】 求函数\(f(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{a+2}{2} x^2+2 a x+1\)的单调性. 解析 \(f'(x)=x^2-(a+2)x+2a=(x-2)(x-a)\)， (求导后因式分解，确定导函数是否存在零点，若有，是多少，有几个？) (1)若\(a=2\)时，\(f(x)\)在\(R\)上递增；

(2)若\(a>2\)时， 当\(20\)，\(f(x)\)递增； (3)若\(a0\)，\(f(x)\)递增. 点拨 导函数\(f'(x)=(x-a)(x-b)\)有零点，要分\(a=b\)，\(a>0\)，\(a0)\)， 令\(g(x)=ax^2+x-2\)(这不一定是二次函数，需要讨论函数类型) ① 若\(a=0\)，\(g(x)=x-2\)，

当\(00\)； \(\therefore f(x)\)在\((0,2)\)上为减函数，在\((2,+∞)\)上为增函数 ② 若\(a>0\)，则\(∆=1+8a>0\)， 由\(ax^2+x-2=0\)得\(x_1=\dfrac{-1-\sqrt{1+8 a}}{2 a}0\)， (作出 \(g(x)=ax^2+x-2\)的图像，由图像可知)

\(f(x)\)在\((0,x_2)\)上为减函数，在\((x_2,+∞)\)上为增函数. 综上所述： \(a=0\)时，\(f(x)\)在\((0,2)\)上为减函数，在\((2,+∞)\)上为增函数 \(a>0\)时，\(f(x)\)在\(\left(0, \dfrac{-1+\sqrt{1+8 a}}{2 a}\right)\)上为减函数，在\(\left(\dfrac{-1+\sqrt{1+8 a}}{2 a},+\infty\right)\)上为增函数. 点拨 对于导函数\(f'(x)=ax^2+bx+c\)中二次项系数\(a\)不确定，要分\(a=0\)，\(a>0\)，\(ax_1\)， 当\(x_10\)，\(f(x)\)递增. 综上所述，当\(-20\)，故\(f(x)\)在\((0,+∞)\)单调递增； ②若\(00\)； \(x \in\left(\sqrt{\dfrac{p}{2(1-p)}},+\infty\right)\)时，\(f'(x)0\)，\(f(x)\)在\(R\)上递增；

(2)若\(a0\)，\(f(x)\)递增； 当\(x0\)，\(f(x)\)在\((-∞,+∞)\)上单调递增； 当\(a0\) 当\(x0\)； (2)若\(a0\)，\(f(x)\)递增. ③若\(a-1⇒x_1>x_2\)， 当\(-10\)，\(f(x)\)递增. 综上， 当\(a≥0\)时，\(f(x)\)在\((-∞,-1)\)递减，在\((-1,+∞)\)递增， 当\(-\dfrac{1}{e}0\)，此时函数\(f(x)\)为增函数， 当\(x∈[1,+∞)\)时，\(f'(x)0\)，此时函数\(f(x)\)为增函数. 综上所述： 若\(a=0\)，函数不具有单调性； 若\(a>0\)，函数\(f(x)\)在\((0,1)\)上单调递增，在\([1,+∞)\)上单调递减； 若\(a0\)，\(f(x)\)在\((0,+∞)\)上递增； (2)当\(a \neq 0\)时， ①若\(a>0\)，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)在\((0,+∞)\)上递增； ②若\(a0\)，\(f(x)\)单调递增， 在\((1,\ln a)\)上，\(f'(x)0\) 当\(x0\)； (2)若\(a0\)，\(f(x)\)递增. ③若\(a-1⇒x_1>x_2\)， 当\(-10\)，\(f(x)\)递增. 综上， 当\(a≥0\)时，\(f(x)\)在\((-∞,-1)\)递减，在\((-1,+∞)\)递增， 当\(-\dfrac{1}{e}2\)时， 当\(00\)讨论.) ①当\(a≤1\)时，\(p(x)≥p(0)=1-a≥0\)，即\(g'(x)≥0\)， 故\(g(x)\)在\([0,+∞)\)上单调递增； ②当\(a>1\)时，\(p(0)=1-a0\)时，\(y=f'(x)\)在\((-∞,\ln a)\)是减函数，在\((\ln a,+∞)\)上是增函数． (2)略. 解析 (1)由已知\(f'(x)=e^x-ax-1\)， 设\(g(x)=f'(x)=e^x-ax-1\)，则\(g'(x)=e^x-a\)， ①当\(a≤0\)时，\(g'(x)=e^x-a>0\)在\(R\)上恒成立， 所以\(g(x)=f'(x)=e^x-a>0\)在\(R\)上恒成立， 所以\(g(x)=f'(x)\)在\((-∞,+∞)\)上单调递增， ②当\(a>0\)时，令\(g'(x)>0\)得\(x>\ln a\)，\(g'(x)0\)时，\(y=f'(x)\)在\((-∞,\ln a)\)是减函数，在\((\ln a,+∞)\)上是增函数． (2)由(1)知，①当\(a≤0\)时，\(f'(x)=e^x-ax-1\)在\((-1,+∞)\)上单调递增， 又\(f'(0)=0\)， 所以\(-10\)， 则\(f(x)\)在\((-1,0)\)上单调递减，在\((0,+∞)\)上单调递增， 所以 \(f(x)_{\min }=f(0)=1\)， ②当\(0