本文是GAN的最后一块内容，就是如何Evaluation一个GAN模型。

说人话：如何评价GAN生成的图片好还不好。

另外一个方面是：是否客观，因为虽然人评价结果比较准确，但是人容易受主观影响，尤其发在论文上的图片，作者肯定不会把很烂的结果摆出来。

Ref: 👉 Lucas Theis, Aäron van den Oord, Matthias Bethge, “A note on the evaluation of generative models”, arXiv preprint, 2015

相关的内容也可以参考这里 👉 机器学习-35-Theory behind GAN(GAN背后的数学理论)

传统方法就是衡量Generator生成数据的Likelihood.假如我们已经训练好一个Generator： P G P_G PG​，然后我们拿几个真实的数据 x i x^i xi （这里是图片，当然是不在训练集的），然后计算生 P G P_G PG​成这几个真实数据的概率（这个概率就是Likelihood）。

蓝色星星：real data (not observed during training).

黄色星星：generated data.

Log Likelihood的计算公式为： L = 1 N ∑ i l o g P G ( x i ) L = \frac{1}{N}\sum_ilogP_G(x^i) L=N1​i∑​logPG​(xi) 如果 P G P_G PG​ 生成这几个真实数据的概率较大，我们就认为这个Generator还不错。

但是问题在于： P G P_G PG​生成这几个真实数据 x i x^i xi 的概率 P G ( x i ) P_G(x^i) PG​(xi) 是没有办法计算的。因为： P G P_G PG​ 是根据一个先验分布来生成数据（橙色星星），但是没有办法指定生成某一个 P G P_G PG​特定的图片。通俗的来讲，通过一个NN来生成数据，都是没有办法算Likelihood，这里不知道因为是从先验分布中sample的原因还是NN的原因。

如果 P G P_G PG​ 是GMM(Gaussian Mixture Model)之类的，给定x，是可以计算概率 P G ( x i ) P_G(x^i) PG​(xi) 的，但是GMM太简单了，我们希望Generator是比较复杂的NN。

既然直接算 P G P_G PG​ 生成这几个真实数据 x i x^i xi 的概率不好计算，那我们就像办法进行估计。步骤如下：

先让生成 P G P_G PG​一大把的图片，然后用一大把有相同covariance的高斯分布来拟合那一大把图片。

再说一遍，先让 P G P_G PG​生成一大把的图片，每一个图片就是一个High-dimensional的向量，对于每一个向量都相当于一个高斯分布的mean，这些高斯分布的covariance都一样，注意观察下面的图：星星在红色圈圈中间，红色圈圈都是一样大。然后把这些红色圈圈用GMM的思想合起来。

刚才说了GMM是算Likelihood概率的，现在有一个GMM可以拟合Generator，问题就解决了。

这个方法有很多问题：

要生成多少个图片才能保证GMM拟合的结果比较精确；

高斯分布做拟合的时候上面是1个图片拟合一个，是不是可以几个图片拟合一个高斯分布？

有论文进行研究，结果并不理想。

除了这两个问题之外，还有一个根本问题就是我们费尽心思算的Likelihood并不能表示质量好坏：

Low likelihood, high quality?

Considering a model generating good images (small variance)

上图中有一个Generator： P G P_G PG​ ，生成的图片质量非常棒，但是它只能生成【凉宫春日】的高清图片，但是我们用来评估的图片（testing set）都是其他人物的头像：

右边的其他人物头像的Likelihood P G ( x i ) P_G(x^i) PG​(xi) 算出来是0。

这明显不合理呀，也就是likelihood很低，并不代表生成数据质量不好。

High likelihood, low quality?

假设我们有一个很强的Generator：G1，它生成图片的likelihood很高，计算公式： L = 1 N ∑ i l o g P G ( x i ) L = \frac{1}{N}\sum_ilogP_G(x^i) L=N1​i∑​logPG​(xi) 还有一个很烂的Generator：G2，它有99%的几率会生成random noise，只有1%的几率和G1一样生成likelihood很高的图片。那么它生成图片的likelihood的公式为： L = 1 N ∑ i l o g P G ( x i ) 100 = − l o g 100 + 1 N ∑ i l o g P G ( x i ) = 4.6 + 1 N ∑ i l o g P G ( x i ) L = \frac{1}{N}\sum_i\frac{logP_G(x^i)}{100} = -log100+\frac{1}{N}\sum_ilogP_G(x^i) = 4.6+\frac{1}{N}\sum_ilogP_G(x^i) L=N1​i∑​100logPG​(xi)​=−log100+N1​i∑​logPG​(xi)=4.6+N1​i∑​logPG​(xi) 我们发现G1和G2的两个Generator的likelihood其实差别没有很大，但是我们知道G1要比G2好100倍才对。因此likelihood并不能代表很好的quality。

比较客观的做法就是训练一个图片分类器来评估生成图片的好坏。

[Tim Salimans, et al., NIPS, 2016]

假设：

从衡量图片质量的角度来看：

如果很容易分辨出图片属于某个类别，就说明质量还不错，除了这个角度外，还需要从另外一个角度来看，就是多样性上考虑，上面也有例子，就是Generator生成单个类别质量好的图片还不够，还要能生成各种类别的图片最好。

例如上图中有三张图片，把它们分别丢到CNN中，产生三个Distribution，然后把这三个分布进行平均，看得到的结果是否是均匀分布的(右图所示)。

如果是均匀分布，表示Generator生成三个类别的概率差不多；

如果某个类别比例高，表示Generator生成该类别的概率较高，多样性较差。

有了这两个标准，那么我们就可以设定评价分数了：Inception Score

I n c e p t i o n   S c o r e = ∑ x ∑ y P ( y ∣ x ) l o g P ( y ∣ x ) − ∑ y P ( y ) l o g P ( y ) Inception\ Score = \sum_x\sum_yP(y|x)logP(y|x)-\sum_yP(y)logP(y) Inception Score=x∑​y∑​P(y∣x)logP(y∣x)−y∑​P(y)logP(y) 上式中

第一项是：Negative entropy of P(y|x)（分布越sharp越好）

第二项是：Entropy of P(y)（分布越平滑越好）

更多的可以参考：

👉 A NOTE ON THE EVALUATION OF GENERATIVE MODELS

除了上面的内容外，还需要注意的是：虽然Generator生成了清晰的图片，也不说明什么，也有可能是GAN把数据库中的真实图片memory下来了。

但是数据库中的图片太多，我们也不知道GAN生成的图片是不是数据库里面的。有人提出来说很简单，把Generator生成的图片拿出来与数据库中的图片做L1或者L2的相似度计算，但是这种pixel级别的计算是不够的，论文中举例如下：

图中很多条线，这些线代表与上面羊的图片的pixel级别的相似度，可以看到，当把图片进行shift一个pixel与其最相似的是黑框那张图片（还是羊），如果shift两个pixel，最相似的图片变成红框那张，以此类推。

也就是说如果GAN生成的图片是shift过两个pixel的，那么用相似度取数据库中找，找到的完全不一样的图片，但是实际上还是一个羊的图片。

右边是另外一个卡车的例子。

其实Mode Dropping的概念我们前面也介绍过了👉 机器学习-38-General Framework of GAN(fGAN，GAN的一般框架)

那么有没有方法可以来估计GAN生成样本的分布？或者说找出生成不同图片数量的上限？具体不展开，给例子：

DCGAN( Deep Convolutional GAN)

If you sample 400 images, with probability>50%, You would sampie"identical"images. There are approximately 0.16M different faces.

意思是这个模型sample 400张图片，有50%的几率会拿到两种相似的图片，那么可以估计出DCGAN生成人脸模型的生成数量为16w左右。

另外一个ALI 模型大约可以生成100w张

👉 Sanjeev Arora,AndrejRisteski,Yi Zhang,“Do GANs learnthe distribution?Some Theory and Empirics”,ICLR,2018

👉 Improved Techniques for Training GANs

原始的GAN的Discriminator进行判别的时候参考的是单个样本，这样的判别结果有可能会有失偏颇；

Mini-batch Discrimination对一个Mini-batch中所有的样本同时进行判别，这样除了判断单张样本之外，还会判别同一个batch中类似或者重复的图片，从而给出更加客观的判别结果。

最后的部分，整理出我们介绍过或者稍微提及过的GAN。

不知道你还记不记得我们前面埋了一些坑，一些GAN没具体讲，其实就是为了这了好凑数😸