第五章

二次型

5.1. 

二次型及其矩阵表示

5.1.1. 

二次型的定义、二次型的矩阵

(

是对称矩阵

)

及矩阵表示

. 

注

: 

二次型的矩阵表示、内积的矩阵表示、双线性函数的矩阵表示的对比

. 

5.1.2. 

二次型的非退化线性替换的定义；经非退还线性替换后，新老两个

二次型的矩阵的关系（会推导）

. 

5.1.3. 

矩阵合同的定义

. 

注

: 

为什么要引入该定义

? 

5.2. 

标准形

5.2.1. 

二次型的标准形的定义及存在性

(

不唯一

),

任一对称矩阵都与对角矩

阵合同

. 

5.2.2.

配方法化二次型为标准形

,

合同变换法化对称矩阵为对角阵

.

5.3. 

唯一性

5.3.1.

复二次型的规范形

. 

5.3.2.

实二次型的规范形

,

惯性定理说明实二次型的规范形的存在性和唯一

性

,

实二次型的正惯性指数

, 

负惯性指数以及符号差的定义

. 

实二次型的规范形

的一些应用

(

书上哪些习题可以用此来解答

?).

5.3.3.

复对称矩阵和实对称矩阵分别与怎样的最简单的对角阵合同

?

5.4. 

正定二次型

5.4.1.

实二次型和实对称矩阵的分类

:

正定

,

半正定

,

负定

,

半负定

,

不定

. 

5.4.2.

正定矩阵的一些等价条件

: 

(1) 

正定矩阵的定义

; 

(2) 

合同于单位矩阵

; 

(3) 

所有顺序主子式大于

0; 

(4) 

所有特征值大于

0. 

正定矩阵的一些必要但不充分条件

: (1)|A|>0;(2)

所有对角线上的元素都大

于

0

；

(3)

所有主子式都大于

0. 

注：

这些等价、

必要条件的推导

.

还要会用实对称矩阵正交相似于对角阵这一

结果来判定实对称矩阵的正定性

.

5.4.3.

列举出一些半正定矩阵的等价条件和必要条件

.

第六章

线性空间

6.1. 

集合

映射

单射、满射、双射的定义及证明；可逆映射的定义及等价条件（即双射）

. 

6.2. 

线性空间的定义与简单性质

线性空间的定义

,

即非空集合

,

加法运算和数乘运算

(

封闭

),8

条运算规则

. 

6.3. 

维数、基与坐标