迭代法的收敛条件及收敛阶 |
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迭代法的收敛条件有三个定理,其中定理1、定理2讲的都是全局性收敛,定理3讲的是局部性收敛。 定理1:方程,,且满足以下两条件: (1)当,; (2)存在常数,对任意的,有; 则(1)在上有唯一解; (2)任取,由得到的序列收敛于,即有; (3)成立误差估计式: , ,。 上面为事后估计式,表示可用相邻两次迭代值之差地绝对值来估计误差,可作为迭代终止条件。 下面称为事前估计式,可以估计出要达到给定精度所需次数。 定理2:将定理1条件改为: 方程,,在可导,且满足以下两条件: (1)当,; (2),当; 则结论同定理1。 定理3:是方程的根,在的一个邻域内导数存在,且存在正常数,使,则任取初值,迭代序列收敛于。 反之,若在的邻域内,则迭代形式发散。 例题:判断用以下迭代法求在的实根时的敛散性。 (1) (2) 解答: (1),故此迭代格式发散; (2),故此迭代格式收敛。 迭代法的收敛阶: 定义:设迭代过程收敛于方程的根,如果迭代误差,且成立,则称序列收敛于具有阶收敛速度,简称是阶收敛的。常数称为渐进收敛常数,也称为收敛因子。 当时称为线性收敛,此时必有; 当时称为超线性收敛; 当时称为平方收敛。 定理4:设为的根,在的邻域内有连续的阶导数,那么: (1)若,则迭代过程在的附近线性收敛; (2)若,但,则迭代过程在附近阶收敛。 (3)
例题:求迭代格式的收敛阶。 解答:该迭代格式收敛于方程,解出 运用定理4(2),求出: 故收敛阶为2。 |
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