1,特征值与特征向量
1.1,特征值与特征向量的概念
设 ,如果存在常数 和非零的 维列向量 ,使得:
![\small A\xi_i=\lambda_i\xi_i](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20A%5Cxi_i%3D%5Clambda_i%5Cxi_i)
则称 为 的特征值, 为 的对应于 的特征向量。
特征向量为非零向量。特征向量与特征值是成对出现的,一个特征值可对应多个特征向量,反之不然。
将上式移项:
有非零解 ![\small \Leftrightarrow det(\lambda E-A)=0](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20%5CLeftrightarrow%20det%28%5Clambda%20E-A%29%3D0)
这是 个未知数 个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式 。
,称 为 的特征矩阵。称 为矩阵 的特征多项式。称 为矩阵 的特征方程。 的特征值就是 的特征方程的根。![\small |\lambda I-A|=\lambda ^{n}-(a_{11}+a_{22}+...+a_{nn})\lambda^{n-1}+...+(-1)|A|](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20%7C%5Clambda%20I-A%7C%3D%5Clambda%20%5E%7Bn%7D-%28a_%7B11%7D+a_%7B22%7D+...+a_%7Bnn%7D%29%5Clambda%5E%7Bn-1%7D+...+%28-1%29%7CA%7C) 阶方阵 在复数范围内一定有 个特征值。
1.2,特征值和特征向量求法,
(1)求 的 个根 ,它们即为 的全部特征值。
(2)求解齐次线性方程组 ,其非零解向量即为 的对应特征值 的特征向量。
【例1】设 ,求 的特征值与特征向量。
【解】因为 的特征多项式为:
![\small det(\lambda I-A)=\begin{vmatrix} \lambda-1 & 2 & -2\\ 2 &\lambda+2 &-4 \\ -2& -4 &\lambda+2 \end{vmatrix}=(\lambda-2)^2(\lambda+7)](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20det%28%5Clambda%20I-A%29%3D%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%20%5Clambda-1%20%26%202%20%26%20-2%5C%5C%202%20%26%5Clambda+2%20%26-4%20%5C%5C%20-2%26%20-4%20%26%5Clambda+2%20%5Cend%7Bvmatrix%7D%3D%28%5Clambda-2%29%5E2%28%5Clambda+7%29)
所以 的特征值为:![\small \lambda_1=\lambda_2=2,\lambda_3=-7](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20%5Clambda_1%3D%5Clambda_2%3D2%2C%5Clambda_3%3D-7)
当 时,解方程组 。由:
![\small 2I-A=\begin{bmatrix} 1 &2 &-2 \\ 2 &4 &-4 \\ -2&-4 & 4 \end{bmatrix}=2I-A=\begin{bmatrix} 1 &2 &-2 \\ 0 &0 &0 \\ 0&0 & 0 \end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%202I-A%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%262%20%26-2%20%5C%5C%202%20%264%20%26-4%20%5C%5C%20-2%26-4%20%26%204%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D2I-A%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%262%20%26-2%20%5C%5C%200%20%260%20%260%20%5C%5C%200%260%20%26%200%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
得基础解析:![\small p_1=[-2,1,0]^T,p_2=[2,0,1]^T](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20p_1%3D%5B-2%2C1%2C0%5D%5ET%2Cp_2%3D%5B2%2C0%2C1%5D%5ET)
所以对应 的全部特征向量为 ,其中 不同时为0。
当 时,解方程组 。由:
![\small -7I-A=\begin{bmatrix} -8 & 2 & -2\\ 2& -5 &-4 \\ -2&-4 &-5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &0 &0.5 \\ 0& 1 &1 \\ 0&0 &0 \end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20-7I-A%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20-8%20%26%202%20%26%20-2%5C%5C%202%26%20-5%20%26-4%20%5C%5C%20-2%26-4%20%26-5%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%260%20%260.5%20%5C%5C%200%26%201%20%261%20%5C%5C%200%260%20%260%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
得基础解析: ,故对应 的全部特征向量为 。
【例2】设 ,求 的特征值与特征向量。
因为 的特征多项式为:
![\small det(\lambda I-A)=\begin{vmatrix} \lambda+1 & -1 & -3\\ 0&\lambda+1 &-1 \\ 0&0 &\lambda-2 \end{vmatrix}=(\lambda+1)^2(\lambda-2)](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20det%28%5Clambda%20I-A%29%3D%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%20%5Clambda+1%20%26%20-1%20%26%20-3%5C%5C%200%26%5Clambda+1%20%26-1%20%5C%5C%200%260%20%26%5Clambda-2%20%5Cend%7Bvmatrix%7D%3D%28%5Clambda+1%29%5E2%28%5Clambda-2%29)
所以 的特征值为:![\small \small \lambda_1=\lambda_2=-1,\lambda_3=2](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20%5Csmall%20%5Clambda_1%3D%5Clambda_2%3D-1%2C%5Clambda_3%3D2)
得基础解析: ,故对应 的全部特征向量为 。
结论:特征值的线性无关的特征向量个数不超过特征值(特征方程的根)的重数。
1.3,特征值与特征向量性质
代数重数和几何重数
将 表示成不互相同的一次因子方幂乘积的型式:
![\small |\lambda I-A|=(\lambda-\lambda_1)^{r_1}(\lambda-\lambda_2)^{r_2}...(\lambda-\lambda_t)^{r_t}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20%7C%5Clambda%20I-A%7C%3D%28%5Clambda-%5Clambda_1%29%5E%7Br_1%7D%28%5Clambda-%5Clambda_2%29%5E%7Br_2%7D...%28%5Clambda-%5Clambda_t%29%5E%7Br_t%7D)
则称 为 的特征值 的代数重数(简称重数)。
的特征值 的特征空间: ,称 为 的特征值 的几何重数,表示属于 的特征值 的线性无关的特征向量的个数。
设 是 的 重特征值,对应 有 个线性无关的特征向量,则 。
矩阵多项式
设 是 的多项式: ,对于 ,规定: ,称 为矩阵 的多项式。
设 , 的 个特征值为: 对应的特征向量为 ,又设 为一多项式,则:
![\small f(A)x_i=f(\lambda_i)x_i,i=1,2,...,n](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20f%28A%29x_i%3Df%28%5Clambda_i%29x_i%2Ci%3D1%2C2%2C...%2Cn)
即 的特征值为 ,对应的特征向量仍为 。特别的,若 ,则所有 。
线性无关
设 是方阵 的互不相同的特征值, 是分别与之对应的特征向量,则 线性无关。
设 是方阵 的互不相同的特征值, 是对应特征值 的线性无关的特征向量,则向量组 也线性无关。
设 阶方阵 的特征值为 ,则:
![\small \lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20%5Clambda_1+%5Clambda_2+...+%5Clambda_n%3Da_%7B11%7D+a_%7B22%7D+...+a_%7Bnn%7D) ![\small \lambda_1\lambda_2...\lambda_n=detA](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20%5Clambda_1%5Clambda_2...%5Clambda_n%3DdetA) 的特征值仍为 ,而 的特征值为 设 ,则0是 的特征值
设 ,称 为 的迹(trace),记为 ,即 。
设 ,则 。
PS: 不一定等于 ,但是它们的对角线元素之和一定相等。
2,相似对角化
2.1,相似的概念与性质
给定复数域 上的 维线性空间 ,考虑 上的线性变换 ,给定 的两组基
![\small (1):\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n;(2):\beta_1,\beta_2,...,\beta_n](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20%281%29%3A%5Calpha_1%2C%5Calpha_2%2C...%2C%5Calpha_n%3B%282%29%3A%5Cbeta_1%2C%5Cbeta_2%2C...%2C%5Cbeta_n)
两组基之间的过渡矩阵记为 ,可得
![\small (\beta_1,\beta_2,...,\beta_n)=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)P](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20%28%5Cbeta_1%2C%5Cbeta_2%2C...%2C%5Cbeta_n%29%3D%28%5Calpha_1%2C%5Calpha_2%2C...%2C%5Calpha_n%29P)
进而
![\small T(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)A](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20T%28%5Calpha_1%2C%5Calpha_2%2C...%2C%5Calpha_n%29%3D%28%5Calpha_1%2C%5Calpha_2%2C...%2C%5Calpha_n%29A)
![\small T(\beta_1,\beta_2,...,\beta_n)=(\beta_1,\beta_2,...,\beta_n)B](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20T%28%5Cbeta_1%2C%5Cbeta_2%2C...%2C%5Cbeta_n%29%3D%28%5Cbeta_1%2C%5Cbeta_2%2C...%2C%5Cbeta_n%29B)
进一步
![\small P^{-1}AP=B](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20P%5E%7B-1%7DAP%3DB)
设 ,若存在可逆矩阵 使得
![\small P^{-1}AP=B](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20P%5E%7B-1%7DAP%3DB)
则称 与 相似,记 。
设 ,则
自反性: 对称性: 传递性:
设 , , 是一多项式,则:
![\small det(A)=det(B),rank(A)=rank(B)](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20det%28A%29%3Ddet%28B%29%2Crank%28A%29%3Drank%28B%29) ![\small f(A)\sim f(B)](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20f%28A%29%5Csim%20f%28B%29) ,即 与 有相同的特征多项式,从而有相同的特征值。
PS:上述四个结论都是矩阵相似的必要而非充分条件。
【例3】
![\small A=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0&1 \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0&1 \end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20A%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%26%200%5C%5C%200%261%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%2CB%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%26%201%5C%5C%200%261%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
证明(3)
存在可逆矩阵 使得 ,因此
![\small |\lambda I-B|=|\lambda I-P^{-1}AP|=|P^{-1}\lambda I P-P^{-1}AP|=|P^{-1}(\lambda I-A)P|=|P^{-1}||\lambda I-A||P|=|\lambda I-A|](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20%7C%5Clambda%20I-B%7C%3D%7C%5Clambda%20I-P%5E%7B-1%7DAP%7C%3D%7CP%5E%7B-1%7D%5Clambda%20I%20P-P%5E%7B-1%7DAP%7C%3D%7CP%5E%7B-1%7D%28%5Clambda%20I-A%29P%7C%3D%7CP%5E%7B-1%7D%7C%7C%5Clambda%20I-A%7C%7CP%7C%3D%7C%5Clambda%20I-A%7C)
2.2,相似对角化的判定
对角矩阵是较简单的矩阵之一,无论计算它的乘积、幂、逆矩阵、特征值都比较方便。
设 ,若 与一对角矩阵相似,则称 可对角化。
可对角化 当且仅当存在 ,使得 。
,令 , 可逆。
![\small [Ap_1,Ap_2,...,Ap_n]=[\lambda_1p_1,\lambda_2p_2,...,\lambda_np_n]](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20%5BAp_1%2CAp_2%2C...%2CAp_n%5D%3D%5B%5Clambda_1p_1%2C%5Clambda_2p_2%2C...%2C%5Clambda_np_n%5D)
![\small Ap_1=\lambda_1p_1,Ap_2=\lambda_2p_2,...,Ap_n=\lambda_np_n](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20Ap_1%3D%5Clambda_1p_1%2CAp_2%3D%5Clambda_2p_2%2C...%2CAp_n%3D%5Clambda_np_n)
是 的 个特征值, 是对应的特征向量, 线性无关。
有 个线性无关的特征向量。
即:设 ,则 可对角化的充要条件是 有 个线性无关的特征向量。
推论1:设 是 的所有互异的特征值,其重数分别为 。若 的几何重数分别为 ,则 可对角化。( 对应 有 个线性无关的特征向量)
推论2:设 ,如果 有 个不同的特征值,则 可对角化。
PS1:矩阵 可相似对角化 的每个相异特征值的几何重数等于代数重数 的相异特征值的几何重数之和等于 。
PS2:当 存在某个特征值,使得其几何重数小于代数重数时,则矩阵不能对角化,比如: 。
【例4】判断下列矩阵是否可对角化,如果是,求相似变换矩阵 和相应的对角矩阵。
![\small A=\begin{bmatrix} -1 & 1 &0 \\ -4 & 3 &0 \\ 1 &0 &2 \end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20A%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20-1%20%26%201%20%260%20%5C%5C%20-4%20%26%203%20%260%20%5C%5C%201%20%260%20%262%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
![\small \because |\lambda I -A|=(\lambda-1)^2(\lambda-2)](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20%5Cbecause%20%7C%5Clambda%20I%20-A%7C%3D%28%5Clambda-1%29%5E2%28%5Clambda-2%29)
![\small \therefore \lambda_1= \lambda_2=1, \lambda_3=2](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20%5Ctherefore%20%5Clambda_1%3D%20%5Clambda_2%3D1%2C%20%5Clambda_3%3D2)
对于单重特征值 ,几何重数=代数重数=1。
因此只需要考虑多重特征值的情形:
![\small I-A=\begin{bmatrix} 2 &-1 &0 \\ 4& -2& 0\\ -1& 0 &-1 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1 &0 &1 \\ 0& 1&2 \\ 0 &0 &0 \end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20I-A%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%202%20%26-1%20%260%20%5C%5C%204%26%20-2%26%200%5C%5C%20-1%26%200%20%26-1%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Crightarrow%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%260%20%261%20%5C%5C%200%26%201%262%20%5C%5C%200%20%260%20%260%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
因此 ,故对应 重特征值 的特征空间的维数为 ,即特征值 的几何重数 时, 块 不可对角化。对角矩阵是一个 矩阵,它的每个 块都是 阶的 的初等因子都是 次的。 矩阵中不同 块对应的特征值可能相同。 块还有下三角的形式。
![\small J_1(2)=[2],J_2(3)=\begin{bmatrix} 3 &1 \\ 0 &3 \end{bmatrix},J_3(2)=\begin{bmatrix} 2 &1 &0 \\ 0& 2 & 1\\ 0& 0 &2 \end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20J_1%282%29%3D%5B2%5D%2CJ_2%283%29%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%203%20%261%20%5C%5C%200%20%263%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%2CJ_3%282%29%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%202%20%261%20%260%20%5C%5C%200%26%202%20%26%201%5C%5C%200%26%200%20%262%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
,分别是 阶的 矩阵。
是一个6阶的 矩阵。
定理:设 ,则 与一个 矩阵 相似,即存在可逆矩阵 ,使得:
![\small P^{-1}AP=J](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20P%5E%7B-1%7DAP%3DJ)
且这个 矩阵 除 块的排列次序外由 唯一确定,此时也称 为矩阵 的 分解。
矩阵不一定可以相似对角化,但一定可以与 矩阵相似。因为相似矩阵有相同的特征值,所以 标准型的对角线元素 就是矩阵的特征值。在 标准型中,不同 块的对角线元素可能相同,因此特征值 的代数重数 对应的某个 块的阶数。
3.2,Jordan标准型求法
特征向量法:设
(1)如果 是 的单重特征值,则 对应于 阶 块 ;
(2)如果 是 的 重特征值,若 ,则对应 就有 个以 为对角元的 块,且这些 块的阶数之和等于 ;
(3)由 的所有相异特征值对应的 块构成 矩阵即为 的标准型。
优点:计算简单,并且由已经求得的特征向量可以求得相似变换矩阵。
缺点:当矩阵 的某个特征值重数较高时,对应的 块阶数可能无法确定。
![\small J=\begin{bmatrix} J_1(\lambda_1) & \\ & J_3(\lambda_1) \end{bmatrix},\hat J=\begin{bmatrix} J_2(\lambda_1) & \\ & J_2(\lambda_1) \end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20J%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20J_1%28%5Clambda_1%29%20%26%20%5C%5C%20%26%20J_3%28%5Clambda_1%29%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%2C%5Chat%20J%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20J_2%28%5Clambda_1%29%20%26%20%5C%5C%20%26%20J_2%28%5Clambda_1%29%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
【例8】求下列矩阵的 标准型
![\small A=\begin{bmatrix} -1 &0 &1 \\ 1& 2 &0 \\ -4 &0 & 3 \end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20A%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20-1%20%260%20%261%20%5C%5C%201%26%202%20%260%20%5C%5C%20-4%20%260%20%26%203%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
已求得 的特征值为 ,对应 重特征值 只有一个线性无关的特征向量,故 的 标准型为:
![\small J=\begin{bmatrix} J_1(\lambda_1) & \\ & J_2(\lambda_2) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 &0 &0 \\ 0 & 1&1 \\ 0 &0 & 1 \end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20J%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20J_1%28%5Clambda_1%29%20%26%20%5C%5C%20%26%20J_2%28%5Clambda_2%29%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D2%20%260%20%260%20%5C%5C%200%20%26%201%261%20%5C%5C%200%20%260%20%26%201%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
![\small A=\begin{bmatrix} 3&1 &-1 \\ -2& 0 &2\\ -1 &-1& 3 \end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20A%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%203%261%20%26-1%20%5C%5C%20-2%26%200%20%262%5C%5C%20-1%20%26-1%26%203%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
已求得 的特征值为 ,对应的线性无关特征向量为 ![\small p_1=[-1,1,0]^T,p_2=[1,0,1]^T](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20p_1%3D%5B-1%2C1%2C0%5D%5ET%2Cp_2%3D%5B1%2C0%2C1%5D%5ET)
故 的标准型为:
![\small J=\begin{bmatrix} J_1(\lambda_1) & \\ & J_2(\lambda_2) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 &0 &0 \\ 0&2 &1 \\ 0&0 & 2 \end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20J%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20J_1%28%5Clambda_1%29%20%26%20%5C%5C%20%26%20J_2%28%5Clambda_2%29%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%202%20%260%20%260%20%5C%5C%200%262%20%261%20%5C%5C%200%260%20%26%202%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
初等变换法:设 ,其中 都是 的多项式,则称 为 矩阵或多项式矩阵。对 矩阵 进行的如下三种变换称为 矩阵的初等行(列)变换:
交换 的两行(列): 或 ![\small c_i\leftrightarrow c_j](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20c_i%5Cleftrightarrow%20c_j) 的某一行(列)乘以一个非零常数 : 或 ![\small kc_i](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20kc_i) 的某一行(列)同时乘以多项式 加到另外一行(列): 或
注:对 的矩阵同样可以定义秩的概念,且在初等变换下 矩阵的秩不变。
相抵(等价关系):设 , 都是 矩阵,且 经过初等变换后变为 ,则称矩阵 与 相抵。
引理:设 是非零矩阵,则矩阵 必须相抵与这样一个 矩阵 ,其中 ,且 可以整除 中的任意元素。
标准形:设 ,则 经过一系列初等变换可化为如下 标准形
![\small S(\lambda)=\begin{bmatrix} d_1(\lambda) & & & \\ & d_2(\lambda) & & \\ & & ... & \\ & & & d_n(\lambda) \end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20S%28%5Clambda%29%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20d_1%28%5Clambda%29%20%26%20%26%20%26%20%5C%5C%20%26%20d_2%28%5Clambda%29%20%26%20%26%20%5C%5C%20%26%20%26%20...%20%26%20%5C%5C%20%26%20%26%20%26%20d_n%28%5Clambda%29%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
其中, 是首 多项式(即最高项系数为 的多项式), ,且 。 其中 为矩阵 的不变因子。
标准形的两个特点:
设对角线元素从上到下次数逐次升高。保持整除性。
标准形的实现途径:初等变换+多项式除法。
【例9】求下列矩阵的 标准形
![\small A_1(\lambda)=\begin{bmatrix} 1-\lambda & 2\lambda-1&\lambda \\ \lambda & \lambda^2& -\lambda\\ 1+\lambda^2 & \lambda^2+\lambda-1 & -\lambda^2 \end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20A_1%28%5Clambda%29%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201-%5Clambda%20%26%202%5Clambda-1%26%5Clambda%20%5C%5C%20%5Clambda%20%26%20%5Clambda%5E2%26%20-%5Clambda%5C%5C%201+%5Clambda%5E2%20%26%20%5Clambda%5E2+%5Clambda-1%20%26%20-%5Clambda%5E2%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
![\small A_1(\lambda)\underset{c_1+c_3}{\rightarrow }\begin{bmatrix} 1 & 2\lambda-1&\lambda \\0 & \lambda^2& -\lambda\\ 1 & \lambda^2+\lambda-1 & -\lambda^2 \end{bmatrix}\underset{r_3-r_1}{\rightarrow }\begin{bmatrix} 1 & 2\lambda-1&\lambda \\0 & \lambda^2& -\lambda\\ 0 & \lambda^2-\lambda& -\lambda^2 -\lambda\end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20A_1%28%5Clambda%29%5Cunderset%7Bc_1+c_3%7D%7B%5Crightarrow%20%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%26%202%5Clambda-1%26%5Clambda%20%5C%5C0%20%26%20%5Clambda%5E2%26%20-%5Clambda%5C%5C%201%20%26%20%5Clambda%5E2+%5Clambda-1%20%26%20-%5Clambda%5E2%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Cunderset%7Br_3-r_1%7D%7B%5Crightarrow%20%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%26%202%5Clambda-1%26%5Clambda%20%5C%5C0%20%26%20%5Clambda%5E2%26%20-%5Clambda%5C%5C%200%20%26%20%5Clambda%5E2-%5Clambda%26%20-%5Clambda%5E2%20-%5Clambda%5Cend%7Bbmatrix%7D)
![\small ...\underset{c_2\leftrightarrow c_3}{\rightarrow }\begin{bmatrix} 1 & 0&0\\0 & -\lambda&\lambda^2\\ 0 & -\lambda^2 -\lambda&\lambda^2-\lambda\end{bmatrix}\underset{c_3+\lambda c_2}{\rightarrow }\begin{bmatrix} 1 & 0&0\\0 & -\lambda&0\\ 0 & -\lambda^2 -\lambda&-\lambda^3-\lambda\end{bmatrix}\underset{...}{\rightarrow }\begin{bmatrix} 1 & 0&0\\0 & \lambda&0\\ 0 & 0&\lambda(\lambda^2+1)\end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20...%5Cunderset%7Bc_2%5Cleftrightarrow%20c_3%7D%7B%5Crightarrow%20%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%26%200%260%5C%5C0%20%26%20-%5Clambda%26%5Clambda%5E2%5C%5C%200%20%26%20-%5Clambda%5E2%20-%5Clambda%26%5Clambda%5E2-%5Clambda%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Cunderset%7Bc_3+%5Clambda%20c_2%7D%7B%5Crightarrow%20%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%26%200%260%5C%5C0%20%26%20-%5Clambda%260%5C%5C%200%20%26%20-%5Clambda%5E2%20-%5Clambda%26-%5Clambda%5E3-%5Clambda%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Cunderset%7B...%7D%7B%5Crightarrow%20%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%26%200%260%5C%5C0%20%26%20%5Clambda%260%5C%5C%200%20%26%200%26%5Clambda%28%5Clambda%5E2+1%29%5Cend%7Bbmatrix%7D)
![\small A_2(\lambda)=\begin{bmatrix} \lambda-\lambda_i & -1&0\\ 0& \lambda-\lambda_i& -1\\ 0& 0 & \lambda-\lambda_i\end{bmatrix} \underset{c_2+(\lambda-\lambda_i)c_3}{\rightarrow }\begin{bmatrix} \lambda-\lambda_i & -1&0\\ 0& 0& -1\\ 0& (\lambda-\lambda_i)^2 & \lambda-\lambda_i\end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20A_2%28%5Clambda%29%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20%5Clambda-%5Clambda_i%20%26%20-1%260%5C%5C%200%26%20%5Clambda-%5Clambda_i%26%20-1%5C%5C%200%26%200%20%26%20%5Clambda-%5Clambda_i%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%5Cunderset%7Bc_2+%28%5Clambda-%5Clambda_i%29c_3%7D%7B%5Crightarrow%20%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20%5Clambda-%5Clambda_i%20%26%20-1%260%5C%5C%200%26%200%26%20-1%5C%5C%200%26%20%28%5Clambda-%5Clambda_i%29%5E2%20%26%20%5Clambda-%5Clambda_i%5Cend%7Bbmatrix%7D)
![\small \underset{c_1+(\lambda-\lambda_i)c_3}{\rightarrow }\begin{bmatrix} 0& -1&0\\ 0& 0& -1\\ (\lambda-\lambda_i)^3& (\lambda-\lambda_i)^2 & \lambda-\lambda_i\end{bmatrix}\underset{...}{\rightarrow }\begin{bmatrix} 1& 0&0\\ 0& 1& 0\\0& 0 & (\lambda-\lambda_i)^3\end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20%5Cunderset%7Bc_1+%28%5Clambda-%5Clambda_i%29c_3%7D%7B%5Crightarrow%20%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%200%26%20-1%260%5C%5C%200%26%200%26%20-1%5C%5C%20%28%5Clambda-%5Clambda_i%29%5E3%26%20%28%5Clambda-%5Clambda_i%29%5E2%20%26%20%5Clambda-%5Clambda_i%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Cunderset%7B...%7D%7B%5Crightarrow%20%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%26%200%260%5C%5C%200%26%201%26%200%5C%5C0%26%200%20%26%20%28%5Clambda-%5Clambda_i%29%5E3%5Cend%7Bbmatrix%7D)
设 :
(1)对矩阵 实施初等变换变成 标准形 ,求出 的不变因子: 。
(2)将 的次数 的不变因子 分解为一次因式方幂的乘积,这些一次因子的方幂称为 的初等因子: 。
(3)写出每个初等因子 对应的 块 , ,由这些 块构成 的 标准形:![\small J=diag\left \{ J_{r_1}(\lambda_1), J_{r_2}(\lambda_2),..., J_{r_s}(\lambda_s) \right \}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20J%3Ddiag%5Cleft%20%5C%7B%20J_%7Br_1%7D%28%5Clambda_1%29%2C%20J_%7Br_2%7D%28%5Clambda_2%29%2C...%2C%20J_%7Br_s%7D%28%5Clambda_s%29%20%5Cright%20%5C%7D)
【例10】求矩阵的 的 标准形
![\small \lambda I-A=\begin{bmatrix} \lambda +1 &0 &-1 \\ -1 & \lambda -2&0 \\ 4 &0 & \lambda-3 \end{bmatrix}\underset{c_1+(\lambda+1)c_3}{\rightarrow }\begin{bmatrix} 0 &0 &-1 \\ -1 & \lambda -2& 0\\ (\lambda -1)^2 &0 &\lambda -3 \end{bmatrix}\underset{...}{\rightarrow }\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0& 1& 0\\ 0 &0 &(\lambda -2)(\lambda -1)^2 \end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20%5Clambda%20I-A%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20%5Clambda%20+1%20%260%20%26-1%20%5C%5C%20-1%20%26%20%5Clambda%20-2%260%20%5C%5C%204%20%260%20%26%20%5Clambda-3%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Cunderset%7Bc_1+%28%5Clambda+1%29c_3%7D%7B%5Crightarrow%20%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%200%20%260%20%26-1%20%5C%5C%20-1%20%26%20%5Clambda%20-2%26%200%5C%5C%20%28%5Clambda%20-1%29%5E2%20%260%20%26%5Clambda%20-3%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Cunderset%7B...%7D%7B%5Crightarrow%20%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%260%20%260%20%5C%5C%200%26%201%26%200%5C%5C%200%20%260%20%26%28%5Clambda%20-2%29%28%5Clambda%20-1%29%5E2%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
因此 的不变因子为:![\small d_1(\lambda)=1,d_2(\lambda)=1,d_3(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda-1)^2](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20d_1%28%5Clambda%29%3D1%2Cd_2%28%5Clambda%29%3D1%2Cd_3%28%5Clambda%29%3D%28%5Clambda-2%29%28%5Clambda-1%29%5E2)
从而 的初等因子为:![\small (\lambda-2),(\lambda-1)^2](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20%28%5Clambda-2%29%2C%28%5Clambda-1%29%5E2)
对应的 块为:![\small J_1(2),J_2(1)](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20J_1%282%29%2CJ_2%281%29)
故矩阵 的 标准形为:![\small J=\begin{bmatrix} J_1(2) & \\ & J_2(1) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 &0 &0 \\ 0& 1& 1\\ 0& 0 &1 \end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20J%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20J_1%282%29%20%26%20%5C%5C%20%26%20J_2%281%29%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%202%20%260%20%260%20%5C%5C%200%26%201%26%201%5C%5C%200%26%200%20%261%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
【问题】 为什么能用初等变换法求矩阵的 标准形?
(1) 对应的 阶的 块:
初等因子为:![\small (\lambda-\lambda_i)^{r_i}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20%28%5Clambda-%5Clambda_i%29%5E%7Br_i%7D)
(2)设方阵 为分块对角矩阵 ,则 的初等因子全体就是 的全部初等因子。
(3)两个同阶方阵 和 相似 与 相抵 与 有相同的初等因子或不变因子。
行列式因子法:
设 , 的所有 阶子式的首 最大公因式 称为 的 阶行列式因子, 。
行列式因子与不变因子:设 , 是 的 阶行列式因子, 是 的不变因子, ,则
![\small d_1(\lambda)=D_1(\lambda),d_k(\lambda)=\frac{D_{k+1}(\lambda)}{D_{k}(\lambda)},k=2,3,...,n](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20d_1%28%5Clambda%29%3DD_1%28%5Clambda%29%2Cd_k%28%5Clambda%29%3D%5Cfrac%7BD_%7Bk+1%7D%28%5Clambda%29%7D%7BD_%7Bk%7D%28%5Clambda%29%7D%2Ck%3D2%2C3%2C...%2Cn)
设 ![\small A \in \mathbb{C}^{n \times n}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20A%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BC%7D%5E%7Bn%20%5Ctimes%20n%7D)
求出矩阵 的 个行列式因子: 。由公式 ,求出 的不变因子。求出 的初等因子和 标准形。
【例11】求矩阵 的 标准形
![\small \lambda I-A=\begin{bmatrix} \lambda -3 & -1 & 1\\ 2 & \lambda & -2\\ 1& 1 & \lambda -3 \end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20%5Clambda%20I-A%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20%5Clambda%20-3%20%26%20-1%20%26%201%5C%5C%202%20%26%20%5Clambda%20%26%20-2%5C%5C%201%26%201%20%26%20%5Clambda%20-3%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
的 阶行列式因子为 ![\small D_1(\lambda)=1](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20D_1%28%5Clambda%29%3D1)
的 阶子式:
![\small D\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-2),D\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}=-2(\lambda-2)](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%20%262%20%5C%5C%201%20%26%202%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%3D%28%5Clambda-1%29%28%5Clambda-2%29%2CD%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%20%262%20%5C%5C%201%20%26%203%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%3D-2%28%5Clambda-2%29)
![\small D\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}=-(\lambda-2),D\begin{pmatrix} 2&1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}=(\lambda-2),...](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%20%262%20%5C%5C%202%20%26%203%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%3D-%28%5Clambda-2%29%2CD%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%202%261%20%5C%5C%201%20%26%202%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%3D%28%5Clambda-2%29%2C...)
的 阶行列式因子为 ![\small D_2(\lambda)=(\lambda-2)](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20D_2%28%5Clambda%29%3D%28%5Clambda-2%29)
的 阶行列式因子为 ![\small \small D_3(\lambda)=(\lambda-2)^3](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20%5Csmall%20D_3%28%5Clambda%29%3D%28%5Clambda-2%29%5E3)
因此 的不变因子为:![\small d_1(\lambda)=1,d_2(\lambda)=(\lambda-2),d_3(\lambda)=(\lambda-2)^2](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20d_1%28%5Clambda%29%3D1%2Cd_2%28%5Clambda%29%3D%28%5Clambda-2%29%2Cd_3%28%5Clambda%29%3D%28%5Clambda-2%29%5E2)
故 的 标准形:![\small J=\begin{bmatrix} J_1(2) & \\ & J_2(2) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 &0 &0 \\ 0& 2&1 \\ 0&0 &2 \end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20J%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20J_1%282%29%20%26%20%5C%5C%20%26%20J_2%282%29%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%202%20%260%20%260%20%5C%5C%200%26%202%261%20%5C%5C%200%260%20%262%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
【例12】求矩阵 的 标准形
![\small \lambda I-A=\begin{bmatrix} \lambda-2 & 1 &-1 & 1\\ -2&\lambda-2 &1 &1 \\ -1& -2 & \lambda+1&-2 \\ 0& 0&0 &\lambda-3 \end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20%5Clambda%20I-A%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20%5Clambda-2%20%26%201%20%26-1%20%26%201%5C%5C%20-2%26%5Clambda-2%20%261%20%261%20%5C%5C%20-1%26%20-2%20%26%20%5Clambda+1%26-2%20%5C%5C%200%26%200%260%20%26%5Clambda-3%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
的三阶子式如下:![\small D\begin{pmatrix} 1,2,3\\1,2,3 \end{pmatrix}=(\lambda-1)^3,D\begin{pmatrix} 1,2,3\\1,2,4 \end{pmatrix}=-(\lambda-3)(2\lambda-5)](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%2C2%2C3%5C%5C1%2C2%2C3%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%3D%28%5Clambda-1%29%5E3%2CD%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%2C2%2C3%5C%5C1%2C2%2C4%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%3D-%28%5Clambda-3%29%282%5Clambda-5%29)
因为 整除每个 阶子式,所以 ,从而 ![\small D_1(\lambda)=D_2(\lambda)=1](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20D_1%28%5Clambda%29%3DD_2%28%5Clambda%29%3D1)
由于 ,因此 的不变因子为:
![\small d_1(\lambda)=d_2(\lambda)=d_3(\lambda)=1,d_4(\lambda)=(\lambda -3)(\lambda -1)^3](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20d_1%28%5Clambda%29%3Dd_2%28%5Clambda%29%3Dd_3%28%5Clambda%29%3D1%2Cd_4%28%5Clambda%29%3D%28%5Clambda%20-3%29%28%5Clambda%20-1%29%5E3)
从而 的初等因子为:![\small (\lambda-3),(\lambda-1)^3](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20%28%5Clambda-3%29%2C%28%5Clambda-1%29%5E3)
对应的 块为:![\small J_1(3),J_3(1)](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20J_1%283%29%2CJ_3%281%29)
故矩阵 的 标准形为:![\small J=\begin{bmatrix} J_1(3) & \\ & J_3(1) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 &0 & 0 &0 \\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0 &1 &1 \\ 0& 0 & 0& 1 \end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20J%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20J_1%283%29%20%26%20%5C%5C%20%26%20J_3%281%29%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%203%20%260%20%26%200%20%260%20%5C%5C%200%26%201%26%201%26%200%5C%5C%200%26%200%20%261%20%261%20%5C%5C%200%26%200%20%26%200%26%201%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
3.3,Jordan标准型的应用
【例13】求矩阵 的 标准形及所使用的相似变换矩阵
可求得 的 标准形为:
![\small J=\begin{bmatrix} J_1(2) & \\ & J_2(1) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 &0 &0 \\ 0& 1 & 1\\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20J%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20J_1%282%29%20%26%20%5C%5C%20%26%20J_2%281%29%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%202%20%260%20%260%20%5C%5C%200%26%201%20%26%201%5C%5C%200%26%200%20%26%201%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
设相似变换矩阵 ,由 ,即 得:
,即
![\small \left\{\begin{matrix} Ap_1=2p_1\\ Ap_2=p_2\\ Ap_3=p_2+p_3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (2I-A)p_1=0\\ (I-A)p_2=0\\ (I-A)p_3=-p_2 \end{matrix}\right.](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20Ap_1%3D2p_1%5C%5C%20Ap_2%3Dp_2%5C%5C%20Ap_3%3Dp_2+p_3%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5CRightarrow%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%282I-A%29p_1%3D0%5C%5C%20%28I-A%29p_2%3D0%5C%5C%20%28I-A%29p_3%3D-p_2%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.)
解线性方程组 ,即
![\small \begin{bmatrix} 2 &0 &-1 \\ -1 &-1 & 0\\ 4& 0 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1\\ 1\\ -2 \end{bmatrix}\Rightarrow p_3=\begin{bmatrix} 0\\ -1\\ 1 \end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%202%20%260%20%26-1%20%5C%5C%20-1%20%26-1%20%26%200%5C%5C%204%26%200%20%26%20-2%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20x_1%5C%5C%20x_2%5C%5C%20x_3%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20-1%5C%5C%201%5C%5C%20-2%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%5CRightarrow%20p_3%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%200%5C%5C%20-1%5C%5C%201%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
所以,![\small P=\begin{bmatrix} 0 &1 &0 \\ 1& -1 &-1 \\ 0& 2&1 \end{bmatrix},P^{-1}AP=\begin{bmatrix} 2 & & \\ &1 &1 \\ & & 1 \end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20P%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%200%20%261%20%260%20%5C%5C%201%26%20-1%20%26-1%20%5C%5C%200%26%202%261%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%2CP%5E%7B-1%7DAP%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%202%20%26%20%26%20%5C%5C%20%261%20%261%20%5C%5C%20%26%20%26%201%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
【例14】求矩阵 的 标准形及所使用的相似变换矩阵
求得 的 标准形为:![\small J=\begin{bmatrix} 2 & & \\ &2 &1 \\ & & 2 \end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20J%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%202%20%26%20%26%20%5C%5C%20%262%20%261%20%5C%5C%20%26%20%26%202%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
设相似变换矩阵 ,则由 ,即 得:
![\small \left\{\begin{matrix} Ap_1=2p_1\\ Ap_2=2p_2\\ Ap_3=p_2+2p_3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (2I-A)p_1=0\\ (2I-A)p_2=0\\ (2I-A)p_3=-p_2 \end{matrix}\right.](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20Ap_1%3D2p_1%5C%5C%20Ap_2%3D2p_2%5C%5C%20Ap_3%3Dp_2+2p_3%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5CRightarrow%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%282I-A%29p_1%3D0%5C%5C%20%282I-A%29p_2%3D0%5C%5C%20%282I-A%29p_3%3D-p_2%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.)
因此 是对应特征值 的李你哥哥线性无关的特征向量,而对应特征值 的广义特征向量 由求解非齐次线性方程组 得到:
可以求得特征值 所对应的两个线性无关的特征向量为:![\small \left [ -1,1,0 \right ]^T,\left [ 1,0,1 \right ]^T](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20%5Cleft%20%5B%20-1%2C1%2C0%20%5Cright%20%5D%5ET%2C%5Cleft%20%5B%201%2C0%2C1%20%5Cright%20%5D%5ET)
可取 ,则 无解。
为了是的该方程有解,需要重新选择 ,设 ![\small p_2=k_1\left [ -1,1,0 \right ]^T+k_2\left [ 1,0,1 \right ]^T](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20p_2%3Dk_1%5Cleft%20%5B%20-1%2C1%2C0%20%5Cright%20%5D%5ET+k_2%5Cleft%20%5B%201%2C0%2C1%20%5Cright%20%5D%5ET)
![\small \left [ 2I-A,-p_2 \right ]=\begin{bmatrix} -1 &-1 &1 &k_1-k_2 \\ 2& 2& -2& -k_1\\ 1&1 &-1 &-k_2 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} 1 &1 &-1 &-k_2 \\ 0& 0& 0& 2k_2-k_1\\ 0&0 &0 &0 \end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20%5Cleft%20%5B%202I-A%2C-p_2%20%5Cright%20%5D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20-1%20%26-1%20%261%20%26k_1-k_2%20%5C%5C%202%26%202%26%20-2%26%20-k_1%5C%5C%201%261%20%26-1%20%26-k_2%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%5CRightarrow%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%261%20%26-1%20%26-k_2%20%5C%5C%200%26%200%26%200%26%202k_2-k_1%5C%5C%200%260%20%260%20%260%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
因此,当 时 的解向量 ,故所有的相似变换矩阵为:![\small P=\begin{bmatrix} -1 &-1 &-1 \\ 1& 2& 0\\ 0& 1 & 0 \end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20P%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20-1%20%26-1%20%26-1%20%5C%5C%201%26%202%26%200%5C%5C%200%26%201%20%26%200%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
标准形的幂
对于 阶 块 ,有 ![\small J_i^k=\begin{bmatrix} \lambda_i^k &C_k^1\lambda_i^{k-1} & C_k^2\lambda_i^{k-2} &... &C_k^{r_i-1}\lambda_i^{k-r_i+1} \\ & \lambda_i^k &C_k^1\lambda_i^{k-1} & ...&C_k^{r_i-2}\lambda_i^{k-r_i+2} \\ & & ... & ...&C_k^1\lambda_i^{k-1} \\ & & & ... & \\ & & & & \lambda_i^k \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \lambda^k &\frac{1}{1!}(\lambda^k)' & \frac{1}{2!}(\lambda^k)'' &... &\frac{1}{(r_i-1)!}(\lambda^k)^{(r_i-1)} \\ & \lambda^k &\frac{1}{1!}(\lambda^k)' &... &\frac{1}{(r_i-2)!}(\lambda^k)^{(r_i-2)} \\ & & ...& ...& ...\\ & & &\lambda^k &\frac{1}{1!}(\lambda^k)' \\ & & & & \lambda^k \end{bmatrix}_{\lambda=\lambda_i}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20J_i%5Ek%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20%5Clambda_i%5Ek%20%26C_k%5E1%5Clambda_i%5E%7Bk-1%7D%20%26%20C_k%5E2%5Clambda_i%5E%7Bk-2%7D%20%26...%20%26C_k%5E%7Br_i-1%7D%5Clambda_i%5E%7Bk-r_i+1%7D%20%5C%5C%20%26%20%5Clambda_i%5Ek%20%26C_k%5E1%5Clambda_i%5E%7Bk-1%7D%20%26%20...%26C_k%5E%7Br_i-2%7D%5Clambda_i%5E%7Bk-r_i+2%7D%20%5C%5C%20%26%20%26%20...%20%26%20...%26C_k%5E1%5Clambda_i%5E%7Bk-1%7D%20%5C%5C%20%26%20%26%20%26%20...%20%26%20%5C%5C%20%26%20%26%20%26%20%26%20%5Clambda_i%5Ek%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20%5Clambda%5Ek%20%26%5Cfrac%7B1%7D%7B1%21%7D%28%5Clambda%5Ek%29%27%20%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%21%7D%28%5Clambda%5Ek%29%27%27%20%26...%20%26%5Cfrac%7B1%7D%7B%28r_i-1%29%21%7D%28%5Clambda%5Ek%29%5E%7B%28r_i-1%29%7D%20%5C%5C%20%26%20%5Clambda%5Ek%20%26%5Cfrac%7B1%7D%7B1%21%7D%28%5Clambda%5Ek%29%27%20%26...%20%26%5Cfrac%7B1%7D%7B%28r_i-2%29%21%7D%28%5Clambda%5Ek%29%5E%7B%28r_i-2%29%7D%20%5C%5C%20%26%20%26%20...%26%20...%26%20...%5C%5C%20%26%20%26%20%26%5Clambda%5Ek%20%26%5Cfrac%7B1%7D%7B1%21%7D%28%5Clambda%5Ek%29%27%20%5C%5C%20%26%20%26%20%26%20%26%20%5Clambda%5Ek%20%5Cend%7Bbmatrix%7D_%7B%5Clambda%3D%5Clambda_i%7D)
其中 ![\small C_k^i=\frac{k!}{i!(k-i)!}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20C_k%5Ei%3D%5Cfrac%7Bk%21%7D%7Bi%21%28k-i%29%21%7D)
对于 矩阵 ,有 ![\small J^k=\begin{bmatrix} J_1^k & & & \\ & J_2^k & & \\ & & ...& \\ & & & J_s^k\end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20J%5Ek%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20J_1%5Ek%20%26%20%26%20%26%20%5C%5C%20%26%20J_2%5Ek%20%26%20%26%20%5C%5C%20%26%20%26%20...%26%20%5C%5C%20%26%20%26%20%26%20J_s%5Ek%5Cend%7Bbmatrix%7D)
设 ,则由 分解定理知存在可逆矩阵 使得
,即 ![\small A=PJP^{-1}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20A%3DPJP%5E%7B-1%7D)
从而 ![\small A^k=PJ^kP^{-1}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20A%5Ek%3DPJ%5EkP%5E%7B-1%7D)
【例15】设 ,求 ![\small A^k](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20A%5Ek)
可求得 ,![\small P^{-1}AP=J=\begin{bmatrix} 1 &1 & \\ & 1& \\ & & 2 \end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20P%5E%7B-1%7DAP%3DJ%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%261%20%26%20%5C%5C%20%26%201%26%20%5C%5C%20%26%20%26%202%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
故 ![\small A^k=PJ^kP^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ -1& -1 & 1\\ 2& 1& 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 &k & \\ &1 & \\ & & 2^k \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ -1& -1& 1\\ 2& 1 & 0 \end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20A%5Ek%3DPJ%5EkP%5E%7B-1%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%26%200%20%26%200%5C%5C%20-1%26%20-1%20%26%201%5C%5C%202%26%201%26%200%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%26k%20%26%20%5C%5C%20%261%20%26%20%5C%5C%20%26%20%26%202%5Ek%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%260%20%260%20%5C%5C%20-1%26%20-1%26%201%5C%5C%202%26%201%20%26%200%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
【例16】求解以及诶线性常系数微分方程组 ![\small \left\{\begin{matrix} \frac{dx_1}{dt}=3x_1+x_2-x_3\\ \frac{dx_2}{dt}=-2x_1+2x_3\\ \frac{dx_3}{dt}=-x_1-x_2+3x_3 \end{matrix}\right.](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%5Cfrac%7Bdx_1%7D%7Bdt%7D%3D3x_1+x_2-x_3%5C%5C%20%5Cfrac%7Bdx_2%7D%7Bdt%7D%3D-2x_1+2x_3%5C%5C%20%5Cfrac%7Bdx_3%7D%7Bdt%7D%3D-x_1-x_2+3x_3%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.)
把微分方程改写为矩阵形式 ![\small \frac{dx}{dt}=Ax](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%3DAx)
其中 , ,![\small A=\begin{bmatrix} 3 &1 &-1 \\ -2& 0& 2\\ -1& -1 &3 \end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20A%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%203%20%261%20%26-1%20%5C%5C%20-2%26%200%26%202%5C%5C%20-1%26%20-1%20%263%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
令 ,这里
![\small P=\begin{bmatrix} -1 &-1 &-1 \\ 1& 2& 0\\ 0& 1 &0 \end{bmatrix},y=\begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3 \end{bmatrix}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20P%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20-1%20%26-1%20%26-1%20%5C%5C%201%26%202%26%200%5C%5C%200%26%201%20%260%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%2Cy%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20y_1%5C%5C%20y_2%5C%5C%20y_3%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
![\small \frac{dy}{dt}=P^{-1}\frac{dx}{dt}=P^{-1}Ax=P^{-1}APy=\begin{bmatrix} 2 &0 &0 \\ 0& 2 & 1\\ 0&0 &2 \end{bmatrix}y](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdt%7D%3DP%5E%7B-1%7D%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%3DP%5E%7B-1%7DAx%3DP%5E%7B-1%7DAPy%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%202%20%260%20%260%20%5C%5C%200%26%202%20%26%201%5C%5C%200%260%20%262%20%5Cend%7Bbmatrix%7Dy)
从而 ![\small \frac{dy_1}{dt}=2y_1,\frac{dy_2}{dt}=2y_2+y_3,\frac{dy_3}{dt}=2y_3](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20%5Cfrac%7Bdy_1%7D%7Bdt%7D%3D2y_1%2C%5Cfrac%7Bdy_2%7D%7Bdt%7D%3D2y_2+y_3%2C%5Cfrac%7Bdy_3%7D%7Bdt%7D%3D2y_3)
进一步可求得 ![\small y_1=c_1e^{2t},y_3=c_3e^{2t}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20y_1%3Dc_1e%5E%7B2t%7D%2Cy_3%3Dc_3e%5E%7B2t%7D)
代入第 个方程得 ![\small \frac{dy_2}{dt}=2y_2+c_3e^{2t}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20%5Cfrac%7Bdy_2%7D%7Bdt%7D%3D2y_2+c_3e%5E%7B2t%7D)
进一步求解 ![\small y_2=e^{2t}(\int c_3e^{2t}e^{-2t}dt+c_3)=e^{2t}(c_2+c_3t)](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20y_2%3De%5E%7B2t%7D%28%5Cint%20c_3e%5E%7B2t%7De%5E%7B-2t%7Ddt+c_3%29%3De%5E%7B2t%7D%28c_2+c_3t%29)
由 求得原微分方程组的一般解为
![\small \left\{\begin{matrix} x_1=-e^{-2t}(c_1+c_2+c_3+c_3t)\\ x_2=e^{2t}(c_1+2c_2+2c_3t)\\ x_3=e^{2t}(c_2+c_3t) \end{matrix}\right.(c_1,c_2,c_3 \in \mathbb{C})](https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Csmall%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20x_1%3D-e%5E%7B-2t%7D%28c_1+c_2+c_3+c_3t%29%5C%5C%20x_2%3De%5E%7B2t%7D%28c_1+2c_2+2c_3t%29%5C%5C%20x_3%3De%5E%7B2t%7D%28c_2+c_3t%29%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%28c_1%2Cc_2%2Cc_3%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BC%7D%29)
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