信息论与编码2 期末复习 |
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线性码定义生成矩阵标准生成矩阵(码的等价)
编码标准阵译码校验矩阵伴随式译码
线性码
定义
如果C∈V(n,q)是V(n,q)的一个子空间,则称C为一个q元线性码.如果C是V(n,q)的一个k维子空间,则称C为一个q元[n,k] 线性码.进一步,如果C的最小距离是d,则称C为一个q元[n,k,d]线性码. 例: 线性码的一个非常重要的性质是它的最小距离与最小重量相等. 设C是一个码字,则d( C)=W( C). 生成矩阵设C是一个q元[n,k|线性码。将C的一组基作为行向量构成一个k x n矩阵G。G称为线性码C的生成矩阵. 例如: 码的变换: 设G1和G2是GF(g)上 的两个k x n矩阵,并且Rank(G1) = Rangk(G2)= k。如果可以通过一系列下述变换将G1变换成G2,则G1和G2生成的q元[n,k]线性码一定是等价的。 (R1)重新排列行向量(R2)将某一行乘以一个非零元素(R3)将某一行乘以一个非零元素,然后加到另一行(C1)重新排列列向量(C2)将某一列乘以一个非零元素标准生成矩阵: 设G是一个q元[n, k]线性码的生成矩阵。则通过一系列(R1)(R2)(R3)(C1)(C2)类型的变换,一定可以将G变换成型如( I k I_k Ik| A)的矩阵,其中 I k I_k Ik是一个k x k阶单位矩阵。A是一个k x (n- k)阶矩阵。 型如( I k I_k Ik| A)的生成矩阵为标准型生成矩阵。 例如:(这个题我也变不对,找了位数学专业的同学帮忙变的,还差一步将列变成整数,乘以分母的最小公倍数即可) 设C是一个q元[n,k]线性码,G为生成矩阵.C中的每个码字都是G的行向量的线性组合,即C= {uG|u∈V(k, q)}. 例如: 伴随式有2(n-k) =23=8个,所以标准阵有8行。 校验矩阵对于一个q元[n,k]线性码C,如果生成矩阵为标准型G=(
I
k
I_k
Ik|A),则其校验矩阵为 H=(-AT|
I
(
n
−
k
)
I_(n-k)
I(n−k)). 例: 设C是一个q元[n,k]线性码,其校验矩阵为H。对任意y∈V(n,q),称yHT为y的伴随。记为s(y)。 伴随式译码方法: 一个q元[n,k]线性码C的伴随式译码方法描述如下: 设y是在信道接收端收到的向量,计算y的伴随式S(y)在伴随式列表中找到S(y)所对应的陪集元代表a将y译为码字y-a |
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