（注：大部分题由于找不到答案，所以作者不得不自己试着做。。）

6.1 堆

    1、在高度为h的堆中，元素个数最多、最少分别为？

解：由堆序性质，堆是一个底层完全充满的树，因此除第h层外，每层的结点个数为2^(k-1)，k为当前层数。

        那么元素总个数为：N = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + …… + 2^(h-2) + n，其中n为第n层的元素个数，满足：1 ≤ n ≤ 2^(h-1)，则可得：

         2^(h - 1) ≤ N ≤ 2^h - 1。

    2、证明：含 n 个元素的堆的高度为⌊lg n⌋。

证明：由6.1知： 2^(h - 1) -1 ≤ N ≤ 2^h - 1，因此可得：2^(h-1) < N < 2^h，则同取2的对数，得到：h - 1< lg n < h，则⌊lg n⌋ = h - 1，为高度减一。即h = ⌊lg n⌋ + 1，至于为什么和证明的结论产生误差，是由于书上堆的高度并没有包括最后一层。

    3、证明：在最大堆的任一子树中，该子树所包含的最大元素在子树的根节点上。

证明：由于最大堆性质：A[ Parent ( i ) ] ≥ A[ i ]，得到因此对该子树任意非根结点 i，均有该结论，则递归可得，最大元素在子树的根节点上。

    4、假设一个最大堆的所有元素不同，那么该堆的最小元素位于哪里？

解：同样，根据最大堆的性质A[ Parent ( i ) ] ≥ A[ i ]， 因此对于任意子树的根结点，均有：A[Left ( i ) ] ≤ A[i]，同时，A[ Right ( i )] ≤ A[ i ]，因此对任意子树递归，可得最小元素在叶节点上，同时由于所有叶节点都在堆的同一层——堆的最后一层，因此最小元素位于堆的最后一层。

    5、一个已排好序的数组是一个最小堆吗？

解：并不是，因为最小堆的性质为：A[ Parent ( i ) ] ≤ A[ i ]，而排好序的数组性质为A[ i + 1] ≥ A[ i ]，二者互不可推。

    6、值为的数组是一个最大堆吗？

解： 将该数组以堆的形式给出： 23 

                                                 17   14

                                          6    13    10    1

                                      5 7    12

其中， 7 > 6，因此并非一个最大堆。

 7、证明： 当用数组表示存储n个元素的堆时，叶节点下标分别为⌊n/2⌋+1，⌊n/2⌋ + 2，…… n。

证明：在最大堆中，叶节点是满足A[ 2i ] ≥ A[ i ]的最小结点（在该简单路径上），在假设叶节点为 j 时，不存在 2j 的结点；假设结点⌊n/2⌋为叶节点，那么则与上述结论相悖，而当j = ⌊n/2⌋+1，Left( j )和Right( j )均大于n&#x