又到周五了，仿真实现了一半，回头来把这篇文章写了吧，两周前我决定写这篇文章时，对功率谱理解是一知半解的，现在不断地仿真、看论文，理解的比以前深了一点吧，一切都会好起来的~ 参考书籍： 《现代信号处理》安颖、崔东艳著 《现代信号处理教程》胡广书著 《数字信号处理原理及其Matlab实现》从玉良编著

作为信号处理方向的学生，经历过本科生和研究生的教育，回头来看信号处理，其实感觉脉络还是挺清晰的，只是学习的时候“只缘身在此山中”，一直是雾里看花，现在参考书籍和自己的理解，首先来明确这些知识的结构脉络。 对于信号的处理，总的来说有两类方法：一类是时域处理，比如使用维纳-卡尔曼滤波、自适应滤波这些；另一类是频域处理，此时如果针对确定性信号，当这些信号满足绝对可积或者可和时，直接转换到频域处理。如果针对随机信号（比较大自然中这些信号居多），采用随机信号的处理方法（比如协方差、自相关矩阵等）对信号进行功率谱估计。 功率谱的估计主要包括经典谱估计和现代谱估计两种方法。经典谱估计由于分析的输入信号为有限长，不能解决时间分辨率和频率分辨率的矛盾（测不准原理）、方差性能差，于是引入了现代谱估计：参数模型法具体表现为AR、MA、ARMA等方法估计出随机信号的功率谱。非参数模型法主要包括Pisarenko谱波分解等方法。 当然，还有一些其他的知识，比如滤波器、S变换等其他知识点，不过一切知识都是作为工具为我们服务的，我们只需要有重点的学习即可。

经典功率谱估计采用的是传统傅里叶变换分析方法（又称线性谱估计），主要分为自相关法（间接法）和周期图法（直接法）两种。自相关法在1985年提出，先估计自相关函数，再计算功率谱。周期图法直接对观测数据进行快速傅里叶变换，得到功率谱。优点是可以直接FFT快速计算，所以应用比较广泛。 经典谱估计优点是计算效率高，缺点是频率分辨率低，常用于频率分辨率要求不高的场合。 放图：

自相关法是根据维纳-辛钦定理，通过相关函数计算功率谱的。

Schuster于1899年提出，把N点观测数据看做能量有限的信号，直接对其进行傅里叶变换，然后取其模值的平法，并除以N，得到观测数据真实的功率谱的估计。 质量分析： （1）周期图法是功率谱的有偏估计。产生偏移的原因一方面是局部平均中主瓣的模糊租用，模糊的结果使谱估计的分辨率下降；另一方面是由于旁瓣的泄露。 （2）频率分辨率低。原因是傅里叶变换域是无限长的，而观测数据是有限长的，相当于将信号在时域添加了矩形窗，在频域真正功率谱卷积一个抽样函数sinc。 总结： 周期图法很简单，直接使用谱估计性能很差，因此在使用时一般使用改进的周期图法。

周期图法相当于一个矩形窗对时域信号的加窗，然后分辨率大约于数据长度N成反比。这里提出四种常见的改进周期图法。

对一个随机变量观测时，得到L组独立数据，每组数据长为M，对每一组求PSD，之后将L个均值加起来求平均。这样得到的均值，其方差是原来的1/L。 质量分析： 平均周期图法仍然是有偏估计，偏移和每组数据长度M有关。由于每段FFT的长度变为M，分辨率更低（Fs/M），因此，平均周期图法以分辨率的降低换区了估计方差的减少。

窗函数法是将长度为N的观测数据乘以同一长度的数据窗w，数据加窗后，谱估计值的数学期望等于真实谱值与窗谱函数的平方卷积，因而是有偏估计。 质量分析： 选择低旁瓣的数据窗可使得杂散响应减少，但旁瓣的降低必然使得主瓣加宽，从而降低分辨率。 数据加窗后，谱估计值的方差>=谱估计值的平方，且不随数据长度增大而减少。 数据加窗可以降低谱估计值的旁瓣，但是降低了谱估计的分辨率。

又叫Bartlett法，首先把长度为N的数据分成L段，每段数据长为M，则N=LM。然后把窗函数w加到每段数据上，求出每段的周期图，之后对每段周期图进行评价。 质量分析： Bartlett法在计算周期图前，先对各数据段加窗，是平均周期图法的估计方差减少，但是分辨率降低。

又称Welch法。对Bartlett法的改进。首先，分段时相邻两段可以重叠，其次，窗函数使用汉宁窗或汉明窗，通过改进，达到进一步减小方差的目的。

经典功率谱虽然实现简单，计算速度快，但是具有方差性能较差、分辨率较低、旁瓣泄露等缺点。

（1）利用加矩形窗周期图法(自带API)实现功率谱估计。 代码：

效果： （2）利用加三角形窗周期图法(自带API)实现功率谱估计

效果： （3）自相关函数法实现功率谱估计

效果： （4）利用FFT算法实现功率谱估计

效果： （5）利用FFT算法实现平均周期图法

效果：

（5）利用pwelch实现Welch法实现平均周期图法