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1、一、積分的符號表示法一、積分的符號表示法高底120( )( )f xx dxxf ， 其中 。211)lim(nnknkn我們將 記為xyOx=1y=f(x)=x21n2( )kndx( )f xxyOx=1y=f(x)=x2高底120111lim( )( )3nnkkf x dxnn藍色區域面積 。xyOx=1y=f(x)=x2二、定積分的意義二、定積分的意義對於任意多項式函數 f(x)，將區間 a,b 分割成 n 等分，若 f(x) 在第 i 等分區間內的最小值為 mi，最大值為 Mi，12() nnbaLmmmn則下和 ：，對於多項式函數 f(x)，其上和與下和的極限是相等的，limli

2、mnnnnLUs即 其中 a 與 b 分別稱為該定積分的下限下限與上限上限。12()nnbaUMMMn上和 ( ) , sf xa b此共同極限 稱為 在區間 上的定積分， ( )baf x dx並以符號 表示。 ( )imlimlnbnannULf xxRd 。xyOy=f(x)xyOy=f(x)xyOy=f(x)Ln=紅色長條面積和三、曲線下的面積三、曲線下的面積ababab設多項函數 f(x) 在閉區間 a,b 上，f(x)0，且 f(x) 的圖形與直線 y=0，x=a 及 x=b 所圍成的區域面積為 R，Un=藍色長條面積和20 0 bx dxb 範例：求的值，其中。xyOx=b21(

3、)nkkbnbn2331nkkbn33(1)(21)()6nbnnn232231()6nnbn22223( )()()bbbnnnbbbnnn解：(1)上和上和 Un (藍色長條面積和)bnkbn3bn2bnby=f(x)=x2 22()bbkbbnnnxyOx=b22220( )()bbbbnnbnnn210()nkkbnbn12303nkbnk33(1)(1 1) 2(1) 1()6bnnnn 232231()6nnbn332 limlim36nnnnbULb 。bn(1)kbn2bn(1)nbny=f(x)=x2(2)下和下和 Ln (紅色長條面積和)22(1)(1)kbnbnnbbnn

4、0 302 3bbxx d 。xyObf(x)=x2x2dxxyOy=f(x)2xyOy=f(x)4xyOy=f(x)3xyOy=f(x)1 0 ( )tf xxtd由上可知： 隨 而改變， 0( )tf x dxt因此 是 的函數 0 ( )( )tgf xtdx令函數 01 ( )(1)gf x dx ， 10( )f x dx面積 30( )f x dx面積 20( )f x dx面積 40( )f x dx面積設多項函數 f(x) 在閉區間 0,b 上，b0，f(x)0，則： 02( )( )2gf x dx ， 03( )( )3gf x dx ， 04( )( )4gf x dx

5、。四、積分與面積的關係四、積分與面積的關係 0 0( )( )limttccf x dxf x dtxc ( )( )limtctctggc( )cg( )( )( )( )g cf cg tf t即 ， 所以 。( )f c面積 高底 0( )( ) ( )( )tgf x dxg tf tt則 ， 且 。xyOy=f(x)f(t)f(c) 0 0( )( )tcf x dxf x dxct面積差底的差tc五、微積分基本定理五、微積分基本定理若函數 f(x) 在閉區間 a,b 上連續，說明：說明：積分積分微分微分( )g x( )f x 0( )( )tftx dxg若 六、積分即為反導數六

6、、積分即為反導數( )( )g ttf則 ( )( )g xxf即 此時 f(x) 為 g(x) 的導函數。 並稱 g(x) 為 f(x) 的反導函數反導函數， ( )( )g xf x dx記為 。23 =3x dxxc即 。33333132xxx 或 或 或 例如：f(x)=x2 的反導函數可為323xccx故 的反導函數表為 ，其中 為常數。43 =4xx dxc 。44xc例如： f(x)=x3 的反導函數為54 =5xx dxc 。55xcf(x)=x4 的反導函數為232 (1210 )=45xx dxxxc 。3245xxcf(x)=12x2+10 x 的反導函數為範例：求下列函

7、數的反導函數：23232(1) 21 (2) 43 (3) 24 xxxxxx32(2) (43)xx dx2 (1) (21)xxdx解：32(3) (24)xxdx43xxc 。323xxxc 。432443xxxc 。七、反導函數七、反導函數12 0 x dx 練習：練習：求拋物線 y=x2，直線 x=1及 x 軸所圍區域的面積。xyO1f(x)=x21 0( )f x dx33133031 。32(1)(0)( )( )( )3xggg xg xxf x ， 其中 f(x)dx解：解：所求面積八、定積分與反導數八、定積分與反導數 ( )( ) ( ) bagggabx為了方便起見，通常

8、將 表為注意： ， 032 11 0( )( )( )( ) 3aabbxf x dxggg xxadxb 即 。例： ( )baf x dxxyOy=f(x)f(b)f(a)ba ( )( )( )( )( )abaf x dxggg xf xb ，其中 。 0 0( )( )baf x dxf x dx= 紅色區域面積( )( )gg ab 。說明：說明：九、定積分的性質九、定積分的性質若 f(x) 與 g(x) 為多項式函數，acb，k 是任意常數，則( )()( )(1) )bbbaaaf xfg xg xx dxddxx(2) ( )( )bbaakkf x dxf x dx(3)

9、( )( )( )bbaccaf x dxf x dxf x dxxyObf(x)=x3f(x)dx3 0bx dx解：所求44044b 40 4bx30 0 bx dxb 範例：求的值，其中。44b 。練習. 求 f(x)= x2+1， x 軸及 y 軸所圍成的區域面積。xyOf(x)= x2+1f(x)dx1210 (1)xdx解所求：330(01(1)3)3 103() 3xx 23 。十、定積分與面積十、定積分與面積 藍色區域面積說明：說明：(1)若在區間 a,b 上，f(x)0，則 f(x) 的圖形與直線y=0，x=a 及 x=b 所圍區域的面積 ( )abf x dx 。 ( )b

10、af x dxxyOy=f(x)f(b)f(a)ba 藍色區域面積xyOab說明：說明： f(a) f(b)y=f(x)(2) 若在區間 a,b 上，f(x)0，則 f(x) 的圖形與直線 y=0，x=a 及 x=b 所圍區域的面積 ( )( )bbaaf xdxf x dx 。 ( )baf x dx 例 6. 右圖為 f(x)=x23x+2 的圖形，求灰色區域的面積。xOyy=f(x)f(x)dx f(x)dx1212 1 0( )f xxf xxdd 25350616 。 132 0 232 13(23(2 ) 32) 32xxxxxx1 02 1( )( )f x dxf xdx 所求

11、面積 解：解：在區間 0,1 上，f(x)0，在區間 1,2 上，f(x) 0，xOyy=f(x)f(x)dx f(x)dx1212 0 1()(fxxfdxxd25350166 。 1 23322 0 133(2 ) (2 ) 3232xxxxxx注意：注意：2 0( )f x dx 1 232 0132 3(2 ) 33(22 ) 32xxxxxx525206363 。灰色區域面積12 0 1( )( )f x dxf x dx 練習. 右圖為 f(x)= x2+x 的圖形，求灰色區域的面積。xOyy=f(x)x= 2 f(x)dxf(x)dx1 01 02)( )(f xfdxxxd10

12、62943610 。 0322 132 0() 3() 322xxxx 01 02)( )(f xfdxxxd所求面積 解：解：在區間 2,0 上，f(x)0，在區間 0,1 上，f(x)0， 2xOy(1,0)(1,0)y=x3 x 例 7. 求 f(x)=x3x 的圖形與 x 軸所圍區域的面積。0 11 0()f xxf x dxd 所求面積 10()411204 。在區間 1,0 上，f(x)0，在區間 0,1 上，f(x) 0， 142 21004() 4() 422xxxx01 0 1( )( )f xxxfddx f(x)dx f(x) dx解：解：433221 4. (1) (2

13、 ) (2) (321) xx dxxxdx例求。432 (2 ) xx dx解：442242(4 )(2 )4442 2 4() 4xx72 。808321(31) 2xxdx解：3232333 ( 1)( 1)( 1) 32 31() xxx16 。15( 1) 322212. (1) (21) (2) (61) xxdxxxdx練習 求。321 (1) 2xxdx解：332231(33)(11)3332 31 () 3xxx443 。1153222 (61)xxdx解：232322 222( 2) 2 ( 2)( 2)2 232 2(2) 2xxx28 。16( 12) 213212 5

14、. (1) (1) (2) (1) xdxxdx例求。2321 (331) xxxdx解：(4862)13 (11)42 1432 2 3() 42xxxx14 。10()4 221 (21) xxdx解：3232( 1)( 1)( 1)3( 2) ( 2)( 2)3 3212() 3xxx13 。12()33 例 8. 設拋物線 ：y= x2+4x+5 與 x 軸交於 A，B 兩點，P 為 之圖形上的一點，而且 PAB 的面積為 的圖形與 x 軸所圍成區域之面積的 3/4 倍。求 (1) PAB的面積 (2) P點坐標。xOyABP5 1(1) x 與解：軸所圍面積323252 55 53( 1) 2 ( 1)5 ( 1)3 32 51(25 ) 3xxx 1008(36)33 521(45)xxdxxOyABP5 13PAB36 42 7。) (2,9P2x9y