高等数学:第五章 定积分(3) 微积分基本公式 |
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§5.3 微积分基本公式 一、积分上限的函数及其导数 设函数 这一特殊形式的积分有两点应该注意: 因![]() ![]() ![]() 为了明确起见,将积分变量改用其它符号如 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 称 是否确有这类函数? 观察一个例子,正态曲线 它表示一个曲边梯形的面积。运行程序gs0503.m,可分别作出 这表明, 【定理一】如果函数 在 证明:当上限 由此得函数的增量 据积分中值定理:
即: 定理一表明: 【定理二】如果函数 就是 定理二的重要意义在于: 肯定了连续函数的原函数的存在性。 揭示了定积分与原函数之间的联系。 使得定积分的计算有可能通过原函数来实现。二、牛顿-莱布尼兹公式 【定理三】设 则 证明: 则 令 而 故 从而 即 若令 为了方便,今后记 最后,我们提醒一句,微积分基本公式时,一定要注意条件:
【例1】计算 解: 注:当初阿基米德用穷竭法计算定积分 【例2】设 在 证明: 由假设, 在
从而,
【例3】求极限 解:这是一个 它是以
注明:试图用牛顿 -- 莱布尼兹公式计算定积分的思路是不可取的。这是因为 公元前的古希腊数学家阿基米德最先具有定积分的初步思想方法,而明确提出定积分概念却是由牛顿(英1642 - 1727)与莱布尼兹(德1646-1716)共同完成的。 而当时的定积分理论基础尚不严谨, 甚至连个严格的定义都没有。直到(1826 - 1866)德国数学家黎曼给出了今天的定积分严格定义。 这一事实表明:一个科学概念从萌芽、诞生到成熟需要经历很长时间。 因此,列宁称“ 自然科学的生命是概念 ”再恰当不过了。 定积分的符号 彼此之间有联系,又各自表达不同的意义,可以说十分先进。现代计算机数学软件所采用的符号系统便是莱布尼兹所定义的,由这一点可看出先进的符号体系是重要的。 我国古代数学尽管历史悠久,但发展缓慢,其中一个重要的原因是符号落后。象著名的“勾股定理”也仅被表述成:勾三股四弦五,即: 在计算机编程中,合理有效地使用符号与变量的名称更是一个不容忽视的大问题。
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