我们继续讨论我们要解决的问题。 y=f(x) 是定义在闭区间 a≤x≤b 上的非负函数，如图1所示。我们如何计算阴影部分(即图像下方， x 轴上方以及垂直直线x=a,x=b共同围成的部分)面积呢？

像这里提到的闭区间会经常出现在我们的讨论中，所以我们用更简短的符号 [a,b] 表示。此外，我们研究的大多数函数都是连续的。这意味着：从直观的角度来看，图像由一片组成，没有隙缝或洞；更确切地说， [a,b] 上的每个点 c ，一定满足

这种函数具有几个基本属性：它是有界的，也就是说存在常数 K 使得区间[a,b]上的所有 x 都满足f(x)≤K；存在最大和最小值，也就是说图像有最高和最低点。

回到图1，符合在 [a,b] 上函数 y=f(x) 连续。我们如何找出阴影区域的面积呢？考虑区域的性质，即只要上边是曲线，那么通过狭小的矩形可以逼近出近似值。

n 是一个正整数，区间[a,b]分割成相等的 n 个子区间。将每个子区间作为底，构建一个曲线下方最高的矩形。所有这些长方形面积的总和为用sn表示。和的面积近似等于图形的面积， n 越大就越相似，或等价地，区间[a,b] 被分成更多更小的子区间。最后，通过求出 sn 的极限值得出图像面积的准确值：

这个过程的效果如图2，矩形越细，它的数目就越多。

现在我们引入一些合适的符号更准确的描述这个想法。

依然是， n 是一个正整数，区间[a,b]分割成相等的 n 个子区间，在区间内插入n−1个间隔点 x1,x2,…,xn−1 。如果用 a 表示x0， b 表示xn，那么这些自区间的端点是