多元微积分(一) |
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大家学习多元微积分,遇到的第一个难点想必就是偏导数,别问俺怎么知道的,因为俺当时也不会(小声)。但是,现在会了,就来告诉大家这个偏导数究竟是什么东东。 1、导数首先,偏导数,人家毕竟带着“导数”二字,想必和导数脱不了干系。那么,啥是个导数? 如图所示,这是函数 那么我们来计算以下y的变化幅度和x变化幅度的比值A: 计算出来为10.0001,那么我们将x增加为5.000001呢,这时y为25.000010000001,比值为10.00000100148668。我们发现,这个比值似乎越来越接近10了!,这个10就是函数 根据我们上面的探究,我们将x的那个微小变化表示为dx,因为x的微小变化引起的y的微小变化表示为dy,那么当这个dx越来越小时,我们根据以上的研究可以发现, 我们表示的专业一点,加入我们有一个函数 也就是,我们要求的导数就是这个变化幅度dx小的不能再小的时候dy和dx的比值。 说到底,导数就是表示在一个点处,x变化了一个很小的量,这时y的变化量是这个x变化量的几倍。这个x我们可以称之为自变量,所以导数就是表示一个一元函数,它的自变量变化了一丢丢,这时因变量肯定也变化了一丢丢,这个因变量变化的一丢丢是自变量变化的一丢丢的多少倍。 因而我们可以给出一个更一般的式子(这是本菜鸡自己总结的,如有错误,希望大家指正): 以上就是对导数的说明,那么我们还有一个点没解释,什么呢?就是导函数,那么导函数又是什么呢?对于函数上的每一个点,我们都有对应的导数值,那么这些点和函数在这里的导数有没有一个对应的函数关系呢?答案是有的。这个函数就是所谓的导函数,也就是导数的函数嘛。比如, OK,导数我们说完了,现在我们来看偏导数。 2、偏导数 刚才我们讲导数时,我们使用了函数 那么,什么又是偏导数呢,我们以二元函数 但是问题就是,我们现在有两个自变量,一个x,一个y,我们到底增加哪个?增加x还是增加y?还是都增加?增加的话又增加多少呢?就像下面这个图一样: 图中的点按照红色箭头的方向,怕不是有无数个自变量变化的情况类,那我们该怎么分析呢?当然是先选择特殊方向了。 2.1 特殊方向1:x的方向我们先选择单纯x方向的情况来分析吧。就像下面这样: 我们先拿一个点x=1,y=2吧(我们以函数 增加之前: 增加之后: 那么 这里的dz,就是我们上面所说的d(因变量),那么这里的d(自变量)呢?因为这里我们只改变了x,所以d(自变量) = dx,那么 我们回想刚刚计算的过程,我们这个过程中只改变了x的值,y唯一需要做的就是像个呆瓜一样看着x在变来变去,说的专业一丢丢,就是当作一个常数。我们计算任意一个点对x的偏导数都是这么算的,在计算的过程中,y就当作一个常数就好了。以上面的例子来说(就是函数 其意义就是:取一个x方向上的微小变化,y不变,当这个微小变化小的不能再小时,求出dz和dx的比值。 说到这儿,肯定有不少同学想到这么一个问题:保持y不变时,比如y=2时,我们x的值和函数在这个x值处对x的偏导数之间有没有什么函数关系呢?答案是有的,怎么计算呢?就以 为例,y=2时,这个函数就变成了 好耶,我么终于可以开始计算这个函数关系了,很显然就是把z=4x这个函数对x求导(为甚什么是x,因为我们现在只关心x,y我们定下来了,我们现在做的就是给y一个定值,然后探究x的微小变化对函数值的影响),一顿操作下来,我们求出来z‘=4,和我们上面计算的一致啦!那么这个z‘=4的意义是什么呢?它代表着在函数z=2xy上,当y=2时,我们求函数上的点( 这个y’=4,专业术语是什么呢?我想你肯定已经猜到啦!它时函数z=2xy在y=2处的对x的偏导函数。既然说到这里了,我们能不能更一般化一下嘞?我们假设y=a(a是一个任意常数),那么我们就可以求出来当y=a时的对x的偏导函数了。我们先计算一下y=a时函数变成了 对于其他的函数,我们的计算方式都一样,啰嗦了这么多,总结起来就一句话:将y看成常数。 2.2 特殊方向1:y的方向我想经过上面对x方向的讲解的话,我们似乎不需要再在这里啰嗦了,毕竟一个道理嘛~,刚刚将y看作常数,这个时候就把x当作常数不就好了嘛。话不多说了,我们就拿上面的z=2xy例来说,这个函数对y的偏导数就是2x嘛,也就是: 讲到这里了,有的同学要提问了:你怎么光说了x方向和y方向,其余的那么多方向怎么办,不管啦?当然不是,对于其余的那么多方向,我们有一个专业的名字:方向导数,这些方向导数,我们都可以用 |
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