IB学生如果选择数学high level中的AA(Analysis and approaches)，那么就有一章内容为常微积分方程求解(Differential equations，下面微分方程都指常微分方程)，主要是内容如下：

其中需要掌握的求解微积分方程的方法有5种：

型微分方程求解；

型，分离变量法求解微分方程；

型，齐次微分方程求解；

型，一阶线性微分方程求解。

当然还有关于微分方程的应用，比如Logistic growth逻辑增长模型，不过今天我们主要讲解一下2-5四种能够得到微分方程精确解的方法。

看到这里有没有想起那棵很高的挂了很多人的数……

这种类型的微分方程是最简单的微分方程，因为只需要把

看个简单的书上例题：

Question:

Find the particular solution to

given

.

接下去看一下再一般一点的情况，如果微分方程含函数

分离变量型的微积分方程也是比较容易的，型如

举个书上简单的例子：

Question:

Solve the following differential equation

其实上述两种类型的微分方程还是比较容易的，难的是在IB考试中与实际问题相结合，需要把问题转化为这种类型且要明确定积分的上下限，比如下面这道题：

类似的题目还有很多，一抓一大把。本章中提到的Logistic growth或者是AP中要求的Natural growth、Restricted growth都是用这种分离变量法求解的，详见下文：

凡是通过化简微分方程能够变为型如

这里用到一个小技巧，令

于是，

接下去就可以通过分离变量法进行求解了

还是书上的例子，

Question:

Solve the differential equation

一阶线性微分方程，型如

令

于是，

我们就找到了满足要求的

因此，我们只需要能够找到

于是，

接着就用分离变量法就可以了，

其中，

为了方便我们只需要令

综上所述，我们得到一阶线性微分方程的公式：

书上也很清晰的给出了求解一阶微分方程的一般步骤：

接下去我们再来看一道书上的例题：

Question:

Solve the differential equation

至此，我们就把常见的常微分方程的四种方法都介绍完了，不过有些时候我们知道了这些方法也不一定能够积出来= =

这两道题都是一位上海七得的学生问我的，哈哈，确实太不容易了。

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