微分是什么? |
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前文请查看: 微积分是什么?柯西的数列极限最开始我们就提到了,曲线下微小的矩形是“微分”: 把这些“微分”加起来就是“积分”,就可以得到曲线下的面积: 上一章定义了极限,解决了微积分中的第一个问题,什么是“ 无限接近0”: 下面我们开始研究数学上什么是“微分”,怎么把“微分”加起来完成“积分”。 1 积分 比如要求 ,在 下的面积: 把 平均分成 份,每份长为 : 这些点的坐标是这么一个数列(把 点去掉): 点之间的间隔为 ,所以上述数列可以简写为: 以这些坐标为终点,宽为 ,高为 作矩形: 每个矩形面积为 ,它们的面积和为: 已知其中的级数: 所以上面的式子继续算下去: 因为 ,代入上式可得: 当 的时候,矩形面积和就是曲面下的面积: 从数学上就是,曲面下面积 为: 在极限的帮助下,算出了曲面下的面积。 2 新的开始 既然得到了曲面下的面积了,是不是微积分课程完了?并没有,实际上刚刚开始。 2.1 计算复杂 上述计算方法早在微积分这门学科正式成立之前就有了。 博纳文图拉·弗兰切斯科·卡瓦列里(1598 -1647),意大利几何学家。在他的著作中就提到了上面这个求解方法,那时候还没有极限,他是直觉地认为当 足够大时: 把矩形面积加起来就需要计算级数(级数就是数列的和),但级数的计算往往很复杂。 这种计算方法简单粗暴,比如,想求正弦函数曲线下 之间的面积,也可以通过矩形和来计算,但是计算起来并不简单(详细计算步骤可以查看这里): 欧拉就是一个级数计算大师,当时很多数学家求“积分”时,算不出级数就向欧拉求救,所以有句话是这么说的:“欧拉,他是所有人的老师”(出自另外一位数学家拉普拉斯之口)。 2.2 不够抽象 之前说了,可以用内接多边形来逼近圆的面积: 也可以换个思路,用小三角形的和来逼近圆的面积: “圆内小三角形的和”与“曲线下的矩形和”看起来异曲同工,但毕竟三角形和矩形还是不一样,能否把这两者统一起来? 还有,能不能用微积分来计算一段曲线的长度(马上就可以看到如何去做): 例子可能举得还不够好、不够多,但可以看出目前所学的微积分还不够抽象,不足以解决更多问题。 2.3 小结 不管是为了计算更加简便,还是为了扩大微积分的应用范围,我们都需要开始新的学习。 3 微分 不管为了计算的便利性,还是覆盖更多的应用场景,都需要把“微分”这个概念抽象出来。 3.1 矩形微分 比如,想求 区间内 曲线下的面积 : 把 平均分成 份,每份长为 ,每个 对应一个 : 很显然: 从里面随便选一份,为了表示一般性,其面积记为 : 在同样的位置,以 为底、 为高作矩形,其面积记为 : 很显然,随着 , 与 会无限接近: 实际上两者都是无穷小: 与 有各自的名字(命名的来由可以查看这里): “微分”是对“差分”的近似,以“直”代“曲”(“微分”就是“直”,“差分”就是“曲”),也叫做线性近似: 在极限下有(因为 ,所以 相当于 ): 其中, 对应之前的 。 稍微总结下: 3.2 三角形微分 要求圆的面积 : 同样的可以把它均分为 个扇形: 很显然,也可以用三角形去近似这些扇形: 这里,小扇形就是“差分”,小三角形就是“微分”,以三角形的“直”去代替扇形的“曲”。 3.3 切线微分 要求这条曲线的长度: 可以把它均分为 个曲线段: 也可以用切线段(切线之后就会介绍)来近似这些曲线段: 划分细点的话,更容易看出两者的相似性: 这里,曲线段就是“差分”,切线段就是“微分”,以切线段的“直”去代替曲线段的“曲”。 3.4 小结 “微分”是“差分”的线性近似,是对“以直代曲”思想的数学表达。 有了“微分”之后,上述几种“积分”(包括面积、曲线长度等)就可以统一表示为: 上述几种“微分”的严格定义不尽相同,这里暂不给出,后面不断完善。 最新的文章请查看这里(可能有后续更新):微分是什么? |
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