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这个答案引发了广泛的反对意见，因为它似乎打破了某些人对能量守恒与惯性系变换的定式思维：一个惯性系下机械能守恒，另一个惯性系下机械能也应该守恒。加上弹簧振子势能是什么又引发一系列争论，什么正弦函数，问题越讲似乎越糊涂。其实类似问题在我那个石头砸到车的问题中已经出现了。为此，我举一个更简单的例子说明这个问题。下图中，一个质量为 m 的小球从一个光滑的碗上部滑下（初始速度为0），摩擦损耗为零；机械能守恒，在顶上势能为mgh, 到碗底速度为 $\sqrt{2gh}$ , 方向水平（为了下面讨论起见， 碗固定在M上，M又固定在地面，但目前不需要考虑）。 现在从一个以速度 V 匀速运动的观察者来看上面的现象：（1）开始：势能 mgh, 动能 1/2 mV^2, 总能量 E0 = mgh + 1/2mV^2; (2) 碗底：势能０，动能 1/2 m (v+V)^2 ＝ 1/2 mv^2 + 1/2mV^2 + m v*V 总能量 E1 = mgh + 1/2mV^2 + m v*V = E0 + m v*V 因此从匀速运动的观察者看，小球到碗底时，系统总能量增加了 m v*V （其中的* 表示点乘），也就是说系统的总能量是不守恒的。这个大家没有异议吧？为什么会这样？在运动观察者看来，碗的支撑力对小球在水平方向做功了。注意到 mv 是物体动量的变化 ΔP（这是伽利略不变的），我们有$\Delta E = V \cdot mv = V \cdot \Delta P$ 我在《外力做功的伽利略变换》一文中给出了做功的伽利略变换公式：W′=W+V⋅ΔP。在静止参照系，碗对小球做功为0， 也就是说W=0，但碗的作用力导致小球动量变化为 mv，那么在运动参照系，碗对小球做的功是 V * mv 。除非 V与 v 垂直，这个碗对球的做功不为0. 喜欢动脑筋的同学们立刻会说，既然碗对球做功了，那么球的反作用力必然对碗做了相同的负功。这怎么回事？问题恰恰在于此，因为碗被固定，这个系统的动量是不守恒的。在上图中，如果下面那个座子 M可以自由滑动（假设M与地面无摩擦），那么 m,M 构成的系统动量守衡，M的动量变化等于 m 的动量变化的负值，因此球对 碗+M做功为 -V * mv。考虑 m+M 系统，总能量是守恒的。注意，M可以是整个地球的质量。有兴趣的，可以具体在 静止参照系计算 m 与 M的速度，然后变换到到运动参照系，会发现总机械能是守恒的 （注一）。弹簧振子的问题很容易看出其总机械能在惯性系变换下是不守恒的：考虑物体在平衡点的情况，此时弹簧弹性势能为0，物体 m 速度为 v 或者 -v ，在运动参照系下 系统能量为 1/2 m (v+V)^2 或者 1/2 m (-v +V )^2，两个情况相差 2mv * V。为什么在伽利略变换下，一个能量守恒的系统，能量不再守恒？ 从我们上面的分析看出，这是因为系统没有平移不变性，也就没有动量守恒。用中学物理分析，参见《外力做功的伽利略变换》。如果用高等力学，这表现在系统的哈密顿量在 xp = x - V t 变换下，出现显示含时间项。 注一： 考虑M可以滑动，m 滑到碗底速度为v, M 速度为 u。在静止参照系， mv + Mu =0 mgh = 1/2 mv^2+ 1/2 M u^2 解出， $v= \sqrt{\frac{2gh M}{m+M}}$ $u = -\frac{m}{M}v$ 换到速度为V的参照系，伽利略变换 $u^\prime = u+V ; v^{\prime} = v +V$ 系统总能量 $E =\frac{1}{2}m(v+V)^2 + \frac{1}{2}M (u+V)^2$ 代入上面的u,v， 得出 E= mgh + 1/2(m+M) V^2 由此可见，当M极大，以M作为参照系能量近似守恒 （误差为 m/M 量级），但一旦进行参照系变换，能量就不守恒了，因为M 并非真正的惯性系。 |
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