1.1.2　弧度制 高中数学       人教A版2003课标版

1、知识与技能

（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集 之间建立的一一对应关系。(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系。

2、过程与方法

创设情境，引入弧度制度量角的大小，通过探究理解并掌握弧度制的定义，领会定义的合理性。根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式，以具体的实例学习角度制与弧度制的互化。

3、情态与价值

通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备。

学生的认知准备状态：初中时学生已经接触到角的定义，角的范围仅限于 。

学生的情感准备状态：学生的心理还不够成熟，情绪波动大，但也容易被调动；同时他们模仿能力较强，思维还依赖于直观形象，抽象概括能力还比较欠缺。

重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用。

难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用。

角的概念的推广

    （1）“旋转”形成的角。

    （2）“正角”与“负角”“0角”。

    （3）象限角与非象限角。

    （4）终边相同的角的集合的表示方法。

【设计意图】 使学生对前面两节课的内容有所回顾，同时有利于下面的教学工作的展开。

有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）

显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制。他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里。

在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制。

角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等。

在此过程中，对角度制进行归纳，回忆，使学生在定义和分类上有所认知。

【设计意图】引起学生的学习兴趣，对下面要讲的内容有好奇心。

利用下述例题引出要讲的新课，介绍弧度制的计算方法，对弧度制进行定义。

∠COD所对的弧长为L，∠AOB所对的弧长为l，OD和OB作为半径，长度分别为R和r，求证：L:R=l：r    

A

B

D

C

1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等。

2.弧度制的定义

[展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1 ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。

3.探究:如图,半径为 的圆的圆心与原点重合,角 的终边与 轴的正半轴重合,交圆于点 ,终边与圆交于点 。请完成表格。

弧 的长

旋转的方向

的弧度数

的度数

逆时针方向

逆时针方向

我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。

【设计意图】理解弧度制的表示及计算方法，对弧度制和角度制之间的关系有一个新的认识。

4.思考:如果一个半径为 的圆的圆心角 所对的弧长是 ,那么 的弧度数是多少?

角 的弧度数的绝对值是： ，其中，l是圆心角所对的弧长， 是半径.

5.根据探究中 填空:

, 度

显然,我们可以由此角度与弧度的换算了.

例1：把下面的角度制化成弧度制

（1）180°（2）360°（3）-360°

【设计意图】学会计算角度和弧度的换算。对弧度制的公式进一步深入了解。

例1.按照下列要求,把 化成弧度:

精确值；精确到0.001的近似值。

例2.将3.14 换算成角度(用度数表示,精确到0.001)。

注意:角度制与弧度制的换算主要抓住 。

例3. 填写特殊角的度数与弧度数的对应表:

度

弧度

角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应。

例4.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:

 (1) ;       (2) ;      (3) .

其中 是半径, 是弧长, 为圆心角, 是扇形的面积。

例5：（略）

例6：（略）

【设计意图】注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别。

6、学习小结

(1)你知道角弧度制是怎样规定的吗?

(2)弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗?

（一）【复习引入】

角的概念的推广

    （1）“旋转”形成的角。

    （2）“正角”与“负角”“0角”。

    （3）象限角与非象限角。

    （4）终边相同的角的集合的表示方法。

【设计意图】 使学生对前面两节课的内容有所回顾，同时有利于下面的教学工作的展开。

（二）【创设情境】

有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）

显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制。他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里。

在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制。

角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等。

在此过程中，对角度制进行归纳，回忆，使学生在定义和分类上有所认知。

【设计意图】引起学生的学习兴趣，对下面要讲的内容有好奇心。

（三）【探究新知】

利用下述例题引出要讲的新课，介绍弧度制的计算方法，对弧度制进行定义。

∠COD所对的弧长为L，∠AOB所对的弧长为l，OD和OB作为半径，长度分别为R和r，求证：L:R=l：r    

A

B

D

C

1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等。

2.弧度制的定义

[展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1 ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。

3.探究:如图,半径为 的圆的圆心与原点重合,角 的终边与 轴的正半轴重合,交圆于点 ,终边与圆交于点 。请完成表格。

弧 的长

旋转的方向

的弧度数

的度数

逆时针方向

逆时针方向

我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。

【设计意图】理解弧度制的表示及计算方法，对弧度制和角度制之间的关系有一个新的认识。

4.思考:如果一个半径为 的圆的圆心角 所对的弧长是 ,那么 的弧度数是多少?

角 的弧度数的绝对值是： ，其中，l是圆心角所对的弧长， 是半径.

5.根据探究中 填空:

, 度

显然,我们可以由此角度与弧度的换算了.

例1：把下面的角度制化成弧度制

（1）180°（2）360°（3）-360°

【设计意图】学会计算角度和弧度的换算。对弧度制的公式进一步深入了解。

（四）例题讲解

例1.按照下列要求,把 化成弧度:

精确值；

精确到0.001的近似值。

例2.将3.14 换算成角度(用度数表示,精确到0.001)。

注意:角度制与弧度制的换算主要抓住 。

例3. 填写特殊角的度数与弧度数的对应表:

度

弧度

角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应。

例4.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:

 (1) ;       (2) ;      (3) .

其中 是半径, 是弧长, 为圆心角, 是扇形的面积。

例5：（略）

例6：（略）

【设计意图】注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别。

6、学习小结

(1)你知道角弧度制是怎样规定的吗?

(2)弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗?

（五）作业设计

1、作业: P9习题1.1  A组  1,2,5,6

2、补充作业：1、1节补充练习（试卷）

【设计意图】使学生在学习新课的过程中，对所学内容进一步的理解，并准确把握考试重点，做到熟能生巧。

（六）板书设计

1.1.2　弧度制

1.1.2　弧度制

角的概念的推广

    （1）“旋转”形成的角。

    （2）“正角”与“负角”“0角”。

    （3）象限角与非象限角。

    （4）终边相同的角的集合的表示方法。

【设计意图】 使学生对前面两节课的内容有所回顾，同时有利于下面的教学工作的展开。

有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）

显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制。他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里。

在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制。

角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等。

在此过程中，对角度制进行归纳，回忆，使学生在定义和分类上有所认知。

【设计意图】引起学生的学习兴趣，对下面要讲的内容有好奇心。

利用下述例题引出要讲的新课，介绍弧度制的计算方法，对弧度制进行定义。

∠COD所对的弧长为L，∠AOB所对的弧长为l，OD和OB作为半径，长度分别为R和r，求证：L:R=l：r    

A

B

D

C

1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等。

2.弧度制的定义

[展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1 ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。

3.探究:如图,半径为 的圆的圆心与原点重合,角 的终边与 轴的正半轴重合,交圆于点 ,终边与圆交于点 。请完成表格。

弧 的长

旋转的方向

的弧度数

的度数

逆时针方向

逆时针方向

我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。

【设计意图】理解弧度制的表示及计算方法，对弧度制和角度制之间的关系有一个新的认识。

4.思考:如果一个半径为 的圆的圆心角 所对的弧长是 ,那么 的弧度数是多少?

角 的弧度数的绝对值是： ，其中，l是圆心角所对的弧长， 是半径.

5.根据探究中 填空:

, 度

显然,我们可以由此角度与弧度的换算了.

例1：把下面的角度制化成弧度制

（1）180°（2）360°（3）-360°

【设计意图】学会计算角度和弧度的换算。对弧度制的公式进一步深入了解。

例1.按照下列要求,把 化成弧度:

精确值；精确到0.001的近似值。

例2.将3.14 换算成角度(用度数表示,精确到0.001)。

注意:角度制与弧度制的换算主要抓住 。

例3. 填写特殊角的度数与弧度数的对应表:

度

弧度

角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应。

例4.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:

 (1) ;       (2) ;      (3) .

其中 是半径, 是弧长, 为圆心角, 是扇形的面积。

例5：（略）

例6：（略）

【设计意图】注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别。

6、学习小结

(1)你知道角弧度制是怎样规定的吗?

(2)弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗?

（一）【复习引入】

角的概念的推广

    （1）“旋转”形成的角。

    （2）“正角”与“负角”“0角”。

    （3）象限角与非象限角。

    （4）终边相同的角的集合的表示方法。

【设计意图】 使学生对前面两节课的内容有所回顾，同时有利于下面的教学工作的展开。

（二）【创设情境】

有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）

显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制。他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里。

在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制。

角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等。

在此过程中，对角度制进行归纳，回忆，使学生在定义和分类上有所认知。

【设计意图】引起学生的学习兴趣，对下面要讲的内容有好奇心。

（三）【探究新知】

利用下述例题引出要讲的新课，介绍弧度制的计算方法，对弧度制进行定义。

∠COD所对的弧长为L，∠AOB所对的弧长为l，OD和OB作为半径，长度分别为R和r，求证：L:R=l：r    

A

B

D

C

1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等。

2.弧度制的定义

[展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1 ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。

3.探究:如图,半径为 的圆的圆心与原点重合,角 的终边与 轴的正半轴重合,交圆于点 ,终边与圆交于点 。请完成表格。

弧 的长

旋转的方向

的弧度数

的度数

逆时针方向

逆时针方向

我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。

【设计意图】理解弧度制的表示及计算方法，对弧度制和角度制之间的关系有一个新的认识。

4.思考:如果一个半径为 的圆的圆心角 所对的弧长是 ,那么 的弧度数是多少?

角 的弧度数的绝对值是： ，其中，l是圆心角所对的弧长， 是半径.

5.根据探究中 填空:

, 度

显然,我们可以由此角度与弧度的换算了.

例1：把下面的角度制化成弧度制

（1）180°（2）360°（3）-360°

【设计意图】学会计算角度和弧度的换算。对弧度制的公式进一步深入了解。

（四）例题讲解

例1.按照下列要求,把 化成弧度:

精确值；

精确到0.001的近似值。

例2.将3.14 换算成角度(用度数表示,精确到0.001)。

注意:角度制与弧度制的换算主要抓住 。

例3. 填写特殊角的度数与弧度数的对应表:

度

弧度

角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应。

例4.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:

 (1) ;       (2) ;      (3) .

其中 是半径, 是弧长, 为圆心角, 是扇形的面积。

例5：（略）

例6：（略）

【设计意图】注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别。

6、学习小结

(1)你知道角弧度制是怎样规定的吗?

(2)弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗?

（五）作业设计

1、作业: P9习题1.1  A组  1,2,5,6

2、补充作业：1、1节补充练习（试卷）

【设计意图】使学生在学习新课的过程中，对所学内容进一步的理解，并准确把握考试重点，做到熟能生巧。

（六）板书设计